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Fonction bijective etc ...
Bonjour,
je vous met mon exercice et je vous explique ma situation 
Soit f : R → R une fonction définie par f(x) =1+
1. Étudiez les variations de f sur R.
2. Est-ce que f : R → R est une fonction injective ? Justifiez votre réponse.
3. Est-ce que f : R → R est une fonction surjective ? Justifiez votre réponse.
4. Soit f|[−1,1] : [−1, 1] → [a; b] la restriction de f à [−1; 1]. Déterminez [a; b] afin que f|[−1,1] soit bijective.
Alors... J'ai fais les question 1 à 3, mais la 4 je pense ne pas l'avoir bien compris:
Voilà ce que je pense, on nous demande de calculer f(-1) qui sera égale à a ou bien b
On fait la même avec f(1) et je doit prouver que dans cette intervalle [a,b] f est surjective ( car nous avons montrer quest 2 qu'elle était injective ( pour info je trouve quest 3 non surjective) ? Ai-je le bon raisonnement sinon, expliquez moi s'il vos plaît!
Bonjour,
As-tu démontré que f est continue strictement monotone sur [-1,1] ?
Si oui, tu dois savoir que la restriction de f à [-1,1] est une bijection de [-1,1] sur l'intervalle d'extrémités f(-1) et f(1).
Re bonjour,
Alors oui à la question 1 j'ai démontré qu'elle était strictement décroissante sur R donc sur [-1;1]
Je ne savais pas que (1) la restriction de f à un intervalle ou f est strictement monotone induis que f est une bijection sur cet intervalle
Pourriez-vous m'expliquez pourquoi ce serait le cas ?
Et donc comme je le pensais f(-1)=a et f(1)=b
Il me manquer juste l'info au dessus (1)
Ahhhh, c'est une questions de logique pardon, comme elle est st monotone elle est aussi continue, elle a forcément pour tout y appartient a F un unique élément x appartient a E tel que y=f(x) , on comprend donc que f([-1;1]) bijective pour x appartient [-1;1] et ensuite l'intervalle [a;b] sera {f(-1);f(1)] ?
Alors oui à la question 1 j'ai démontré qu'elle était strictement décroissante sur R donc sur [-1;1]
C'est faux. Refais ton calcul.
Mais je crois pas avoir encore vus cette propriété néanmoins
Tu n'as pas vu le théorème des valeurs intermédiaires ?
Continuité et théorème des valeurs intermédiairesOk j'ai refais les calculs, je vous les décris bien comme il faut comme ça si jamais y'a des fautes vous saurez ou !
f(x)= 1 + (3x)(x²+1)
f(x)=0 .... Delta= 5 >0 prend valeur de a >0 ext racine .... x1= et x2=
Donc f s'annule en x1= -2,6 et x2 =-0,4
.... F(x) de la forme u+v avec v de la forme U/V
Avec u'=0 et v'=
donc f'(x)=
On peut conclure que f(x) croissant sur ]-inf;x1[U]x2;+inf[ et décroissant sur ]x1;x2[
f(x)=1+ (3x)/(x²+1) pardon
Bon à partir de là si ma réponse est juste ... sur [-1;1] elle n'est pas st monotone ... :'( je me suis donc trompé avant non ?
Fiouu je crois avoir trouvé... beaucoup d'erreurs en effet ...
donc en dérivée je trouve qui s'annule en -1 et 1
donc on va voir f'(x)>0 dans l'intervalle [-1;1] ( on met les crochet ouvert ou fermé comme ici ? )
donc f(x) croissant sur cet intervalle là
Ensuite : f(-1)= - 1/2
f(1) = 5/2
On peut en conclure que la fonction f(x) change de signe dans l'intervalle [-1;1]
elle est continue car dérivable, et st monotone sur cet intervalle
D'après le théorème du TVI il n'existe qu'une seul antécédent x pour chaque image de la courbe en [-1;1]
Vus qu'on ne cherche pas si il n'y a qu'une solution pour f(x)=0 mais plutot qu'il n'y a q'un seul antécédent pour chaque élément y, je me suis permis de changer la rédaction à la fin, ( montrer moi comment mieux la rédiger si jamais il y'à un problème )
E aussi es-ce que a=-1/2 ou bien c'est égale à -1 je ne comprend pas ce que veut dire l'intervalle [a;b]
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