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Niveau Maths sup
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Fonction bornée à dérivée bornée

Posté par
Benlhaj
22-03-14 à 14:40

Bonjour,

Je bloque sur la question suivante :

"Existe-t-il des fonctions g de classe C2 sur R telle que g et g' soient bornées et que g" non bornée ?"

Vue comment la question a été posée, je dirais oui, avec probablement comme preuve un exemple. Mais cependant j'ai beau essayer, je n'en trouve pas... Est-ce que vous avez des idées ?

Merci.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 14:49

Bonjour

Essaye un truc du genre \sin(x^3)/x prolongé en 0 bien sur. Vérifie que c'est bien C^2

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 14:54

Oui elle est bien C2 mais g' n'est pas bornée
Fonction bornée à dérivée bornée

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 14:56

mais c'était une bonne idée, sin (x²)/x marche

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 14:57

Elle est plus petite que |1/x| pour x grand! Elle tend vers 0 à l'infini!

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 14:58

la dérivée première de sin(x²)/x est bien bornée
Fonction bornée à dérivée bornée
Et pas la dérivée seconde :
Fonction bornée à dérivée bornée

Posté par
Benlhaj
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 16:04

bonjour

La fonction sin(x^2)/x est-elle derivable deux fois en 0 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonction bornée à dérivée bornée 22-03-14 à 17:52

Oui manifestement, regarde les graphes de f' et f"



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