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Fonction C infinie

Posté par
Serbiwni 09-04-21 à 21:39

Bonsoir, j'aimerais montrer que la fonction suivante est C^\infty

f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x^2-1}}&\text{ si }x\in]-1,1[\\\ 0&\text{ sinon.}\end{cases}.

J'ai essayé de trouver une formule générale pour g^{(k)} mais j'ai l'impression qu'il y a du binôme de Newton, etc... Cela revient à trouver une expression pour k \in N de f^{(k)}=e^u avec u une fonction quelconque. Ensuite la continuité des dérivées viendrait du fait-mêmes que toutes les dérivées sont dérivables donc continues.
Si cette méthode me convient, j'ai néanmoins l'impression qu'elle est fastidieuse, comment me conseillez-vous de procéder pour montrer que la fonction est C^\infty ?

Posté par
GBZMre : Fonction C infinie 09-04-21 à 21:54

Bonsoir,

Il n'y a que deux points qui posent problème. Je pense que tu vois lesquels. Ces deux points délimitent trois intervalles sur lesquels la fonction f est évidemment C^{\infty}.
Reste à voir que toutes les dérivées se raccordent bien aux deux points.
Pour cela tu auras à étudier les limites des dérivées de \exp(1/(x^2-1)). Il te suffira d'établir la forme générale d'une telle dérivée, du type fraction rationnelle en x fois \exp(1/(x^2-1)).

Posté par
WilliamM007re : Fonction C infinie 09-04-21 à 21:55

Bonsoir.

Tu as juste besoin de montrer que f^{(k)}, bien définie sur ]-\infty,-1|, ]-1,1[, et ]1,+\infty[, converge bien vers 0 en -1 et en 1.

Pour ce faire, il suffit de montrer qu'entre -1 et 1, f^{(k)}(x) est de la forme \frac{P_k(x)}{(x^2-1)^{2k}}f(k) où P_k est un polynôme. Le reste s'en déduit par croissances comparées.


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