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Fonction Caractéristique
Bonsoir, je suis un peu bloqué, je ne vois pas la méthode de résolution à appliquer, si quelqu'un a un peu de temps...
Merci D'avance
On considère un ensemble E et on note A(E,{0,1}) l'ensemble des applications de E dans {0,1}. Pour tout sous-ensemble A de E on note 1I A sa fonction caractéristique. Soit 
l'application définie par:
: P(E) --> A(E,{0,1})
A --> 1I A
Montrer que est une apllication injective, puis surjective, puis bijective.
Je trouve que cela soit logique que cela soit injectif, mais je ne vois pas comment le montrer, et le reste non plus.
Salut, 
Si c'est logique et que tu n'arrives pas à le montrer c'est que ce n'est pas si logique ...
Bon, plus sérieusement...
Pour l'injectivité, fais comme FF a dit, ça marche très bien.
Pour la surjectivité: Tu prends une application f (quelconque) de E dans {0,1} et tu construis un sous ensemble de E dont f est la fonction caractéristique. Et pis voilà.
Pour la bijectivité, ça doit plus être très compliqué...
pour l'injctivité,
je suppose que phi(A)=phi(B) mais cela n'impllique pas directement que A=B, franchement je ne vois pas, c'est vrai que c'était pas si logique que cela (cf Otto)...
Oulà attention! Tu fais un amalgame montrueux entre la fonction qui à une partie de E lui associe sa fonction caractéristique (c'est une application de P(E) dans {0,1}^E) et la fonction caractéristique elle même (qui elle est une application de A dans {0,1}).
je ne vois pas bien la différence, dans le cas présent c'est quoi alors ? C'est pas une apllication de A dans ({0,1}) ?
Bon, dans l'histoire, il y a deux types d'applications. On va s fixer sur les notations parce que sinon on ne va plus s'en sortir.
On note l'application de P(E) dans E^{0,1} qui à toute partie de E lui associe sa fonction caractéristique.
On note l'application de E dans {0,1} tel que
.
Ok sur les conventions?
Ok. On va pouvoir continuer alors.
On prend deux parties de E ( deux éléments de P(E) donc) qu'on note A et B. On suppose que . Cela signifie que les fonctions caractéristiques de A et de B sont égales. Autrement dit,
.
Tu me suis jusque-là?
les deux vont ensemble il me semble, Phi(A) est disons une application incluse dans P(E)
Une application incluse dans un ensemble de partie. On aura tout vu. Non mais franchement...
nan mais je savais pas comment le dire, l'application est une partie de E, ou je ne sais comment m'expliquer
l'application est une partie de E
Ben voyons... Je suis pas sur que tu ais compris. Ca sert à rien de continuer.
Comment veux-tu qu'une APPLICATION soit une PARTIE d'un ensemble? C'est du délire à l'état pur. Ce sont deux objets de natures complètement différente, ça n'a RIEN en commun. Relis et comprend ton cours sur les ensembles et applications, on continuera après.
non, je pense que c'est bon (enfin j'espère), A est un ensemble de P(E), on pourrait dire que Phi(A) est une restriction de Phi (suis-je HS????)
A est un ensemble de P(E)
Non, pas exactement. C'est un sous ensemble de E, et donc un élément de P(E). (tu vois la différence?).
on pourrait dire que Phi(A) est une restriction de Phi
Et non, c'est là que tu te trompes.
pour A élément de P(E) je vois
mais Phi(A) c'est quoi alors si c'est pas une sorte de restriction de Phi ? Un cas particulier de Phi ?
d'accord ça je l'avais compris, mais cela fait depuis ce matin qu'on essaye de voir la différence entre Phi et Phi(A) et le rapport entre les deux...
Mais sinon pour revenir à l'exercice je fais comment pour montrer que phi est bijective en partant de phi(A)=Phi(B) ?
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