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fonction caractéristique

Posté par WEAZEDS (invité) 31-12-04 à 20:20

sujet:
En utilisant les fonctions caractèristiques (en justifiant très précisèment la démarche), retrouver les resultats suivant :
- est distributive sur
- Lois de Morgan : (A B)c = Ac Bc  et (A B)c = Ac Bc

Merci..

Posté par Mayhem555 (invité)re : fonction caractéristique 01-01-05 à 12:50

Un petit Bonjour quand même....

qu'apelle tu fonction caractéristique ?

A tu le droit d'utiliser les propriétés de l'anneau de Boole ?

Posté par
franzre : fonction caractéristique 02-01-05 à 12:24

Bonjour,


{\mathbb 1}_{\bar A} = {\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{A}

{\mathbb 1}_{A \cap B} = {\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B}

{\mathbb 1}_{A \cup B} = {\mathbb 1}_{A} +{\mathbb 1}_{B}-{\mathbb 1}_{A \cap B} = {\mathbb 1}_{A} +{\mathbb 1}_{B}-{\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B} = {\mathbb 1} - ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{A})\times ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{B}) = {\mathbb 1} -{\mathbb 1}_{\bar A} \times {\mathbb 1}_{\bar B}



{\mathbb 1}_{A \cap (B\cup C)} = {\mathbb 1}_{A} \times ( {\mathbb 1}_{B} +{\mathbb 1}_{C}-{\mathbb 1}_{B} \times {\mathbb 1}_{C} ) ={\mathbb 1}_{A} \times{\mathbb 1}_{B} + {\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{C} - {\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B} \times {\mathbb 1}_{C}

{\mathbb 1}_{(A \cap B) \cup (A\cap C)} = ({\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B}) + ({\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{C}) - ({\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B}) \times ({\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{C}) ={\mathbb 1}_{A} \times{\mathbb 1}_{B} + {\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{C} - {\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B} \times {\mathbb 1}_{C} = {\mathbb 1}_{A \cap (B\cup C)}



{\mathbb 1}_{\overline{A \cup B}} = {\mathbb 1}-{\mathbb 1}_{{A \cup B}}= {\mathbb 1} - [{\mathbb 1} - ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{A})\times ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{B})] = ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{A})\times ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{B}) = {\mathbb 1}_{\bar A} \times {\mathbb 1}_{\bar B} = {\mathbb 1}_{\bar A \cap \bar B}


{\mathbb 1}_{\overline{A \cap B}} = {\mathbb 1}-{\mathbb 1}_{{A \cap B}} = {\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{A} \times {\mathbb 1}_{B} = {\mathbb 1} - ( {\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{\bar A}) \times ({\mathbb 1} - {\mathbb 1}_{\bar B}) = {\mathbb 1}_{\bar A \cup \bar B}


Posté par WEAZEDS (invité)re : fonction caractéristique 05-01-05 à 20:40

merci pour le message Franz,mais que signifie le symbole 1!
veuillez me répondre rapidement,merci.

Posté par WEAZEDS (invité)re : fonction caractéristique 05-01-05 à 20:51

on appelle fonction caractéristique de l'ensemble A, la fonction
  
   A: E   {0,1}
       x      1     si x A
       x     0     si x   A

Posté par
franzre : fonction caractéristique 06-01-05 à 22:32

J'appelle {\mathbb 1}_{A}, la fonction que tu appelles \varphi_A.


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