Bonsoir,

de mémoire, la transformée de Laplace est réservée aux variables aléatoires à valeurs dans (peut-être privé de 0). Que ce soit la fonction caractéristique ou cette transformée, ces deux applications caractérisent la loi. En plus de ça, la transformée de Laplace permet de définir la fonction génératrice des moments qui est assez utile.

Y'a plein de manières d'étudier la loi ou la convergence en loi quand tes variables aléatoires sont à valeurs dans .
Par exemple si X est à valeurs dans , tu peux regarder la fonction génératrice définie par , définie et sur un intervalle ouvert centré en zéro, qui dépend de la loi. L'intérêt c'est que cette fonction et ses dérivées permettent de retrouver les pour tout n.

Maintenant, si la v.a n'est pas à valeurs entières, ça ne suffit plus de donner les P(X=n) pour caractériser la loi. Si X a le bon goût d'être à valeurs dans , on peut s'intéresser à la transformée de laplace , correctement définie parce que P-presque sûrement.
Là encore, cette fonction est importante parce qu'elle ne dépend que de la loi de X. Y est de même loi que X si et seulement si . Si la loi est à densité on peut faire mieux que ça encore et regarder cette fonction seulement en 0 (théorème de Lévy).

Si X est à valeurs réelles mais pas forcément positives, alors on peut toujorus regarder sa transformée de Laplace, qui est bien définie sur un intervalle centré en 0. Mêmes conclusions, mais la seule difficulté supplémentaire, c'est de faire attention à bien étudier le domaine de définition.
Pour éviter de se prendre la tête, on peut regarder plutôt la transformée de Fourier (aussi appelée fonction caractéristique) : . C'est exactement pareil que la transformée de Laplace, mais cette fois c'est défini sur tout entier sans aucun problème parce que P-presque sûrement.
Comme pour Laplace, X est de même loi que Y si et seulement si . C'est quand même plus sympa en théorie que d'étudier la fonction de répartition ou les pour toute f continue bornée...

Par contre quand X n'est plus à valeurs réelles, toutes ses choses sont mal définies, voire pas du tout définies et il faut utiliser d'autres moyens pour étudier la loi et/ou la convergence en loi.

Niveau M2/D: _{^{Ca te passe sûrement au dessus de la tête, mais pour étudier la convergence en loi d'une suite de processus, il ne suffit pas de montrer la convergence en loi marginale en général. Si tu as de la chance, tu seras dans un espace séparable, voire polonais et tu pourras regarder si la loi est tendue et appliquer les théorèmes de Prokhorov et de Skorokhod. Si l'espace est en plus localement compact, le théorème d'Arzelà-Ascoli. Le critère d'Aldous sous certaines conditions, etc. Il y a aussi des extensions du TCL comme le magnifique théorème de Donsker par exemple. Si tes processus ont des propriétés spéciales, il y a des moyens efficaces de les étudier. Par exemple si ce sont des semi-martinglales, ou des processus de Markov, ou encore des nuages poissoniens il y a des thorèmes limite efficaces. Je ne sais pas exactement quel est ton niveau, c'est écrit école d'ingénieur. Si tu veux plus de précisions je peux t'en donner, mais il faut me dire dans quel domaine, parce que c'est large}}

en gros , elle joue a peu pres le meme role , sauf que la fonction caractéristique elle est toujours definie pour des va a valeurs dans R donc legerement plus simple a utiliser que la transforme de la place, ca explique pourquoi mon programme de maths privilégie la fonction caractéristique.
merci a vous