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Fonction carré

Posté par
marine11170 23-04-17 à 16:14

Bonjour j'ai eu un exercice à faire et pour cette question je ne sais pas comment m'y prendre, quelqu'un pourrait m'aider svp ?
On donne g(x)= 2(x-3)² -2 démontrer que la fonction g est croissante sur [3; +l'infini[

Posté par
Yzzre : Fonction carré 23-04-17 à 16:24

Salut,

Soient a et b deux réels tels que 3 < a < b.
Alors : 0 < a-3 < b-3
Donc...

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 16:25

Bonjour

utilisez la définition d'une fonction croissante et les propriétés de \leqslant

3\leqslant a\leqslant b

0\leqslant a-3\leqslant b-3

(a-3)^2 \dots (b-3)^2

\dots

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 16:35

hekla @ 23-04-2017 à 16:25

Bonjour

utilisez la définition d'une fonction croissante et les propriétés de \leqslant

3\leqslant a\leqslant b

0\leqslant a-3\leqslant b-3

(a-3)^2 \dots (b-3)^2

\dots

je n'ai rien compris, comment on fait pour passer de la ligne 2 à la 3 ?

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 16:41

en élevant au carré   on sait que x\mapsto x^2 est une fonction croissante sur [0~;~+\infty[

le 0 ne servant qu'à s'assurer d'être dans les réels positifs  on peut maintenant  laisser tomber 0\leqslant

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 16:45

d'accord,  donc (a -3)² <(ou égale) <(ou égale) (b-3)²

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 16:48

bis repetita placent  un seul suffit sinon on a l'impression qu'il manque quelque chose

(a-3)^2\leqslant (b-3)^2

on continue jusqu'à

g(a) \dots g(b)

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 16:53

d'accord
g(a) <(ou égale) g(b)

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 16:59

oui

il y a deux étapes à écrire
la première multiplication par 2
la seconde ajout d'un réel

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 17:01

pourquoi multiplier par 2 et ajouter un réel ?

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 17:10

parce que l'on veut montrer que g est croissante sur  [3~;~+\infty[

il faut donc bien obtenir g(a) et g(b)

(a-3)^2\leqslant (b-3)^2

2(a-3)^2\dots 2(b-3)^2

2(a-3)^2-2\dots 2(b-3)^2-2

g(a)\leqslant g(b)

on a montré que a et b étant 2 réels  supérieurs à  3

   a \leqslant b entraîne g(a)\leqslant g(b)

par conséquent  g est une fonction   \dots  sur \dots

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 17:16

beh ça ne change pas de signe, ça reste toujours <(ou égale) à chaque fois
et pour la dernière phrase c'est "par conséquent g est une fonction croissante sur [3;+l'infini[

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 17:20

on est bien d'accord cela ne change pas le sens de l'inégalité  mais faut-il encore le dire

multiplication par un réel strictement positif

addition d'un même réel

Q.E.D.

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 17:22

hekla @ 23-04-2017 à 17:20

on est bien d'accord cela ne change pas le sens de l'inégalité  mais faut-il encore le dire

multiplication par un réel strictement positif

addition d'un même réel

Q.E.D.

je ne comprends pas ce que vous me dîtes

Posté par
heklare : Fonction carré 23-04-17 à 17:30

en général on justifie les étapes

(a-3)^2\leqslant (b-3)^2 car  la fonction x\mapsto x^2 est croissante sur \R^+

2(a-3)^2\leqslant 2(b-3)^2 car on multiplie les deux membres de l'inégalité par un même réel strictement positif

2(a-3)^2-2\leqslant 2(b-3)^2-2 car on ajoute un même réel aux deux membres de l'inégalité

g(a)\leqslant g(b)

conclusion
on a montré que a et b étant 2 réels  supérieurs à  3

   a \leqslant b entraîne g(a)\leqslant g(b) par conséquent  g est une fonction  croissante  sur [3~;~+\infty[.

c'est bien ce qu'il fallait démontrer

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction carré 23-04-17 à 17:30

Sinon tu pouvais aussi dire simplement :
g(x)= 2(x-3)² -2 est une parabole tournée vers le haut (parce que le coefficient de x² est positif) et son sommet est en S(3;-2) (se lit directement sur la forme canonique) et donc on est sur la branche à droite du sommet, et la fonction est donc croissante.

Posté par
marine11170re : Fonction carré 23-04-17 à 17:37

d'accord merci beaucoup  de votre aide!


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