bonjour

1) Df juste. Tu peux aussi remarquer que f est impaire

2) bonne intuition. tu peux aussi dériver f et montrer que f'(x)=2(acrsin(x))' et détermineras la constante de manière à ce que f soit continue en 1/V2.

Merci pour ta réponse =)
Bon, pour (2x²-1)>0 soi x appartient à ]-1;-1/V2]U[1/V2;1]


si on cherche la primitive de f' ça donne

f2(x)=-2arcsin(x)+C
pour x dans [1/V2 ; 1] f est continue en 1/V2 si
lim (-2arcsin(x)+C)=f(1/V2)= pi/2
x->1/V2

lim (-2arcsin(x)+C) =pi/2 si C=pi
x->1/V2

donc pour x dans 1/V2 ; 1
f(x)=f2(x)=-2arcsin(x)+pi=-2(arcsin(x)-pi/2)=2arccos(x)
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Pour -1/V2 1/V2 il faut qu'elle soit continue en -1/V2 et 1/V2
f'(x)=2(arcsin(x))'

f1(x)=2arcsin(x)+C

lim(2arcsin(x)+C)= pi/2
x->1/V2
lim(2arcsin(x)+C)= -pi/2
x->-1/V2

C=0

d'où f(x)=f1(x)=2arcsin(x)
_______________________________________________________________
Pour -1;-1/V2

il faut qu'elle soit continue en -1/V2

f1(x)=-2arcsin(x)+C

lim (-2arcsin(x)+C)=-pi/2
x->-1/V2
C=-pi
f1(x)=-2arcsin(x)-pi=-2(-arcsin(-x)+pi/2)=-2arccos(-x)


Est-ce ça? (parce que j'ai un gros doute x) )

Pour x dans [-1 ; 1]

f(x) = arcsin(2xV(1-x²))

f'(x) = 2*(V(1-x²) - x²/V(1-x²))/V(1 - 4x²(1-x²))

f'(x) = 2*[(1-x²) - x²)/V(1-x²)]/V(1 - 4x²(1-x²))

f'(x) = 2*(1-2x²)/[V((1 - 4x²(1-x²)).(1-x²))]

f'(x) = 2*(1-2x²)/[V((1 - 4x²(1-x²)).(1-x²))]

f'(x) = 2*(1-2x²)/[V((1-2x²)²).V(1-x²)]

f'(x) = 2*(1-2x²)/[|(1-2x²)|.V(1-x²)]

a) si 1-2x² >= 0 ---> f'(x) = 2/V(1-x²)

b) si 1-2x² < 0 ---> f'(x) = -2/V(1-x²)
---
a)
si 1-2x² >= 0 (donc pour x dans [-1/V2 ; 1/V2])
f'(x) = 2/V(1-x²)
f(x) = 2.arcsin(x) + K1

f(0) = arcsin(0) = 0 ---> K1 = 0
f(x) = 2.arcsin(x)

b)
si 1-2x² < 0 (donc pour x dans [-1 ; -1/V2[ U  ; ]1/V2 ; 1])

f'(x) = -2/V(1-x²)
f(x) = -2.arcsin(x) + K2 pour x dans ]1/V2 ; 1]
f(x) = -2.arcsin(x) + K3 pour x dans [-1 ; -1/V2[

f(1) = arcsin(2V(1-1²)) = 0
0 = -2.arcsin(1) + K2
K2 = 2.arcsin(1) = Pi
f(x) = Pi - 2.arcsin(x) (pour x dans ]1/V2 ; 1])

f(-1) = arcsin(-2V(1-1²)) = 0
0 = -2.arcsin(-1) + K3
K3 = 2.arcsin(-1) = -Pi
f(x) = -Pi - 2.arcsin(x) (pour x dans [-1 ; -1/V2[)
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Groupement des résultats :

f(x) = -Pi - 2.arcsin(x) pour x dans [-1 ; -1/V2[

f(x) = 2.arcsin(x) pour x dans [-1/V2 ; 1/V2]

f(x) = Pi - 2.arcsin(x) pour x dans ]1/V2 ; 1]
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Sauf distraction.  

Bonjour,
j'avoue ne pas comprendre ce que tu appelles fonction explicite, car dans sa forme c'est déjà une fonction explicite de x.
Tu voulais dire sans doute "plus simple", et là ou bien j'ai raté le film mais tu t'es lancé dans de drôlles de complications dont je ne saisie pas le sens.

Comme Df=[-1;1}
On peut poser et donc avec

Au début aussi je n'ai pas compris x) ,mais en dessinant le graphe j'ai compris ce qu'il fallait faire.

oui mais la racine de 1-x² est la valeur absolue de (cos(alpha)) donc ça varie selon les intervalles

ah désolé je n'ai pas vu alpha dans -pi/2 pi/2 j'ai répondu hâtivement  x)

Ontrouve Df =[-1; 1]; on pose x= cos (a) et f(x) devient arc sin( 2cos (a)sin(a))=arc sin (2sin(a)).

DOMOREA

Contre exemple :

f(x) = arcsin(2x.V(1-x²))

f(0,8) = arcsin(2*0,8.V(1-0,8²)) = 1,28700221775...

2arcsin(x) = 2arcsin(0,8) = 1,85489043...

Et donc f(x) = 2arcsin(x) est faux.

J'ai montré que :
f(x) = -Pi - 2.arcsin(x) pour x dans [-1 ; -1/V2[
f(x) = 2.arcsin(x) pour x dans [-1/V2 ; 1/V2]
f(x) = Pi - 2.arcsin(x) pour x dans ]1/V2 ; 1]
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Francchoix

cos(a) = x n'impose pas V(1-x²) = sin(a) mais seulement V(1-x²) = |sin(a)|
Il y a donc un problème de signe.
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Non ?

Oui justement.. la valeur absolue pose problème mais c'est bon.. x)

Merci à vous :3

bonjour,
@JP
ok ce que j'ai écris ne marche évidement que si
et donc dans les autres cas il faut  utiliser des formules complémentaires avec