Niveau Reprise d'études

Fonction constante

Posté par Ramanujan 31-03-19 à 22:47

Bonsoir,

Soif f une fonction constante sur $I=]- \infty , 2[$

Je sais que la limite de la fonction f en moins l'infini vaut $a$

Je ne comprends pas pourquoi : $\forall x \in I : f(x)=a$

Posté par re : Fonction constante 31-03-19 à 22:50

Toujours les memes questions et toujours les memes reponses aux questions

Si f(x) = c pour tout x alors f(x) -> c en -l'infini puis par unicité de la limite etc.

Posté par re : Fonction constante 31-03-19 à 23:38

Bonsoir,
Peut être par l'absurde: comment pourrait il en être autrement?

Posté par re : Fonction constante 01-04-19 à 00:34

c'est vrai que c'est assez intuitif, mais bon si tu veux une preuve, on peut partir de la définition de la limite :

$\forall \varepsilon>0, \exists A\in I, \forall x\in I, \;[x<A\implies |f(x)-a|<\varepsilon]$

à partir de cette définition et du fait que $f$ est constante, on peut écrire :

$\forall \varepsilon>0, \forall x\in I, |f(x)-a|<\varepsilon$

on déduit que $\forall x\in I, |f(x)-a|=0$ donc $\forall x\in I,\;f(x)=a$

Posté par re : Fonction constante 01-04-19 à 07:07

Lionel
J'ai pas compris.

Mousse
Pas compris comment vous obtenez la ligne 2 : "à partir du fait que f est constante"

Posté par re : Fonction constante 01-04-19 à 08:04

En fait j'ai compris la démo de Lionel mais pas celle de Mousse.

f est constante supposons que : $\forall x \in I : f(x)= k$

Or : $\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} f(x) = a =\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} k = k$

Donc $k =a$ par suite $\forall x \in I : f(x)= a$

Posté par re : Fonction constante 01-04-19 à 11:52

la définition de la limite te dit que pour un $\varepsilon$ donné, la propriété

$|f(x)-a|<\varepsilon$ est vraie pour tout $x\in ]-\infty,A[$ , et puisque $f$ est constante, cette propriété
est vraie pour tout $x\in I$