Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

fonction continu = somme d'une série normalement convergente

Posté par
rbph
30-03-17 à 15:08

Bonjour, je suis en licence 2, de mathématiques.

J'aimerai, s'il vous plaît avoir la démonstration de ce qui suit:

Toutes fonction réelle continue sur un intervalle compact de R, est la somme d'une série normalement convergente de fonction en escalier.

Merci de vos réponse

Posté par
jsvdb
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 15:18

Bonjour rbph.
Effectivement, je crois que l'on voit ça en intégration.

Soit f : K \right \R une fonction continues avec K intervalle compact.

L'idée de la démo : tu découpes \R en en morceau de longueur \frac{1}{2^n} et tu considères la fonction en escalier suivante :

si x \in f^{-1}(] n + \frac{k}{2^n};n + \frac{k}{2^n}+\frac{1}{2^n}[), alors f_{n,k}(x) = n + \frac{k}{2^n} pour n \in \N et k \in [0, 2^n-1]

Posté par
jsvdb
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 15:19

Erreur de LaTex :

Soit f : K \rightarrow \R une fonction continue avec K intervalle compact.

Posté par
jsvdb
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 15:42

Et évidemment il faudra te servir de ceci :

si u_n est une suite convergente vers \ell alors la série de terme général S_n = u_n - u_{n-1} avec S_0 = u_0 converge vers \ell

Posté par
jsvdb
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 15:49

jsvdb @ 30-03-2017 à 15:18

si x \in f^{-1}(] n + \frac{k}{2^n};n + \frac{k}{2^n}+\frac{1}{2^n}[), alors f_{n,k}(x) = n + \frac{k}{2^n} pour n \in \N et k \in [0, 2^n-1]

Erratum :

si x \in f^{-1}({\red [} n + \frac{k}{2^n};n + \frac{k}{2^n}+\frac{1}{2^n}[), alors f_{n,k}(x) = n + \frac{k}{2^n} pour n \in \N et k \in [0, \red {2^{n+1}-1}]

Posté par
jsvdb
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 15:53

Je vais y arriver :

si x \in f^{-1}([n + \frac{k}{2^n};n + \frac{k}{2^n}+\frac{1}{2^n}[), alors f_{n,k}(x) = n + \frac{k}{2^n} pour n \in \N et k \in [0, \red {2^{n}-1}]

Posté par
etniopal
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 20:22




On dit que f : [a , b]   E est en escalier  si elle est constante sur ]a, b[  ou , sinon , s'il existe     N   *  et    t N tels que
a < t1 <......<  tN < b   et tels que f soit constante sur chaun des intervalles ]a ,  t1 [   , ] t1  ,  t2 [ ,...., ] tN , b[

On démontre que si f  : [a , b]     est continue alors  pour tout réel r > 0 il existe  g en escalier telle que Sup x(|f(x) - g(x)|) r . Ceci résulte du fait que f est uniformément continue .

Avec ça t=on voit qu'il existe une suite n gn  d'applications en escalier sur [a , b] telle que  Sup(f - gn) 0  .

Posté par
etniopal
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 20:24

Ce que raconte jsvdb concerne  " l'approximation par des " étagées mesurables "

Posté par
jsvdb
re : fonction continu = somme d'une série normalement convergent 30-03-17 à 22:18

Effectivement la construction demandée correspond plus à l'intégrale de Riemann tandis que celle que j'ai proposée à celle de Lebesgue



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !