Bonjour, je suis en licence 2, de mathématiques.
J'aimerai, s'il vous plaît avoir la démonstration de ce qui suit:
Toutes fonction réelle continue sur un intervalle compact de R, est la somme d'une série normalement convergente de fonction en escalier.
Merci de vos réponse
Bonjour rbph.
Effectivement, je crois que l'on voit ça en intégration.
Soit une fonction continues avec K intervalle compact.
L'idée de la démo : tu découpes en en morceau de longueur et tu considères la fonction en escalier suivante :
si , alors pour et
Et évidemment il faudra te servir de ceci :
si est une suite convergente vers alors la série de terme général avec converge vers
On dit que f : [a , b] E est en escalier si elle est constante sur ]a, b[ ou , sinon , s'il existe N * et t N tels que
a < t1 <......< tN < b et tels que f soit constante sur chaun des intervalles ]a , t1 [ , ] t1 , t2 [ ,...., ] tN , b[
On démontre que si f : [a , b] est continue alors pour tout réel r > 0 il existe g en escalier telle que Sup x(|f(x) - g(x)|) r . Ceci résulte du fait que f est uniformément continue .
Avec ça t=on voit qu'il existe une suite n gn d'applications en escalier sur [a , b] telle que Sup(f - gn) 0 .
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