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Fonction convexe

Posté par
ZKL 22-05-18 à 00:43

Bonsoir , svp aider moi a résoudre ce exercice.

               Exercice

Soit la fonction f définie sur ^2 par :

f(x,y)= 3x^2-2xy+y^2 + sup (x,1)
1- vérifier qu'il existe un réel strictement positif tel que :
(x,y)^2,    
f(x,y)≥1+(x^2+y^2).
2- vérifier que f est strictement convexe sur ^2.

Posté par
carpediemre : Fonction convexe 22-05-18 à 09:04

salut

f(x, y) = 2x^2 + (y - x)^2 + sup (x, 1) \ge 1

donc f(x, y) - 1 \ge 3x^2 - 2xy + y^2 + sup (x - 1, 0)

il suffit donc de montrer qu'il existe un réel a > 0 tel que 3x^2 - 2xy + y^2 - a(x^2 + y^2) \ge 0


la fonction (x, y) --> sup (x, y) est convexe (et il est certain que la fonction (x, y) --> sup (x, 1) l'est)

la fonction (x, y) --> 2x^2 + (x - y)^2 est strictement convexe

donc ...

Posté par
ZKLre : Fonction convexe 23-05-18 à 08:40

Bonjour à carpediem, si j'ai mis du temps avant de réagir c'est parce que je n'arrive pas à évoluer avec les indications que vous m'avez donné sur la question 1.  Le sup me pose toujours problème. Donc j'aimerais que vous m'expliquez.
En ce qui concerne la question 2 , je vous remercie.

Posté par
carpediemre : Fonction convexe 23-05-18 à 14:57

f(x, y) \ge 1 + a(x^2 + y^2) \iff f(x, y) - 1 \ge a(x^2 + y^2)

or il est trivial que f(x, y) \ge 1 (d'après ce que j'ai écrit

donc il suffit de montrer que 3x^2 - 2xy + y^2 - a(x^2 + y^2) \ge 0 est vrai pour certains a à déterminer ...

Posté par
miltonre : Fonction convexe 23-05-18 à 21:43

Bonjour
Plus elementaire mais un peu long.
f(x)=3x^2-2xy+y^2+1 si x\leq 1 et  f(x)=3x^2-2xy+y^2+x si non.
On calcule f(x)-\alpha(x^2+y^2) dans chaque cas et pour le premier on arrive a ce que [1-(\alpha -1)(\alpha -3)] et \alpha-3 aient meme signe. Et......

Posté par
ZKLre : Fonction convexe 25-05-18 à 20:25

Bonsoir à carpediem et milton.

Selon les indications données par carpediem voici ce que j'ai obtenu:
On a :
3x^2-2xy+2y^2-\alpha (x^2+y^2)= \\ x^2+2x^2-2xy+y^2+y^2-\alpha (x^2+y^2)= \\ (x^2+y^2)+2x^2-2xy+y^2-\alpha (x^2+y^2)
=(1-\alpha )(x^2+y^2)+2(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2.
Si =1;
Alors (1-\alpha )(x^2+y^2)+2(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2=2(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2≥0.
Si ≠1
Alors (1-\alpha )(x^2+y^2)+2(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2≤0
En conclusion il existe un réel strictement positif =1 tel que  l'inégalité soit vrai.

Je souhaite que carpediem apprécié ma réponse.

Posté par
carpediemre : Fonction convexe 25-05-18 à 20:39

il me semble que tu puisses même prendre tout réel a =< 1 ...

Posté par
ZKLre : Fonction convexe 26-05-18 à 01:09

carpediem @ 25-05-2018 à 20:39

il me semble que tu puisses même prendre tout réel a =< 1 ...

Effectivement vous avez raison. Dans ce cas on raisonne ainsi :
Si≤1
Alors
(1-\alpha )(x^2+y^2)+2(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2\geq 0
Si >1
Alors
(1-\alpha )(x^2+y^2)+2(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2\leq0

On en déduit donc que =1 puisque selon l'énoncé est un réel strictement positif.

Je souhaite que carpediem apprécié ma réponse.

Posté par
ZKLre : Fonction convexe 26-05-18 à 01:24

J'ajoute que la méthode proposée par milton donne aussi après démonstration que =1,  que sa soit dans le premier cas ou dans le deuxième cas. Les démonstrations  semblent très longue  à recopier  et poster.

Posté par
carpediemre : Fonction convexe 26-05-18 à 09:22

deux lignes suffisent avec ma démonstration donc pas très long !!!

par contre relis la question : on demande l'existence d'un réel strictement positif a tel que ...

a ne vaut pas forcément 1
1 est simplement le sup (et même le max) des valeurs possibles

et tu te compliques inutilement les calculs :

3x^2 - 2xy + 2y^2 - a(x^2 + y^2) = x^2 + x^2 - 2xy + y^2 + (1 - a)(x^2 + y^2) = x^2 + (x - y)^2 + (1 - a)(x^2 + y^2)

il suffit donc de prendre a \le 1 et si on veut qu'il soit positif il suffit de prendre 0 \le a \le 1

Posté par
ZKLre : Fonction convexe 27-05-18 à 14:45

carpediem @ 26-05-2018 à 09:22

deux lignes suffisent avec ma démonstration donc pas très long !!!

par contre relis la question : on demande l'existence d'un réel strictement positif a tel que ...

a ne vaut pas forcément 1
1 est simplement le sup (et même le max) des valeurs possibles

et tu te compliques inutilement les calculs :

3x^2 - 2xy + 2y^2 - a(x^2 + y^2) = x^2 + x^2 - 2xy + y^2 + (1 - a)(x^2 + y^2) = x^2 + (x - y)^2 + (1 - a)(x^2 + y^2)

il suffit donc de prendre a \le 1 et si on veut qu'il soit positif il suffit de prendre 0 \le a \le 1



Vous avez tout à fait raison. Vraiment merci beaucoup pour l'aide que vous m'avez apporté. Sans oublier aussi milton .  Merci beaucoup à vous.

Posté par
carpediemre : Fonction convexe 27-05-18 à 18:08

de rien


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