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Fonction convexe et coercive
Bonsoir,
je cherche à montrer le résultat suivant :
Soit f : R -> R une fonction convexe et coercive (c'est à dire limite de |f(x)| -> + infini quand x -> + ou - infini.) Démontrer qu'il existe alpha, beta >0 tels que f(x) >=alpha|x| - beta
J'ai commencé par écrire la définition de limite en + infini, on a donc :
Et comme f est convexe, elle est au dessus de sa tangente donc on a toujours f(x) >= f(m) + (x-m)f'(m).
Mais ce ne doit pas être la bonne piste car je n'aboutis pas..
Cordialement
Bonjour Lady2,
le problème de ton inéquation de la tangente est que cela n'exclut pas la fonction nulle,
qui est convexe mais non coercive, et que m dépend de A.
Il faut choisir un A particulier,
A = 1 (par exemple),
donc il existe m tel que
Il faut montrer que dans ton inéquation de la tangente..
est convexe donc que peut-on dire de la fonction dérivée ?
Cordialement,
--
Mateo.
Si f convexe, on peut dire que la fonction dérivée est croissante, donc si x>m, f'(m) < f'(x), mais je n'ai pas de f('x) dans mon inéquation.
Bonjour,
Une remarque : la fonction n'est pas supposé dérivable ... Utiliser la tangente n'est sans doute donc pas la façon la plus générale de procéder ...
Bonjour, j'allais faire la même remarque que Zrun.
Je vais essayé pour le cas +oo:
On pourrait utiliser pour a fixé: croissante
Avec a=0, on a alors croissante Comme f est convexe elle est continue, soit L sa limite en +oo.
Si L=+oo alors alpha=1 conviendra.
Si L est fini alors et on aura une valeur de alpha qui conviendra.
A vérifier.
Merci de votre aide.
Avec , on déduit que
= L, mais ensuite je ne vois pas comment avoir que f(x) >= alpha|x| - beta ? Effectivement avec alpha = 1 si L = +infini, convient donc beta = 0. Mais si L est fini, que peut-on prendre comme valeur de alpha et beta ?
Attention alpha=1 convient mais il faut beta>0 mais on arrivera bien à en trouver 1...
Pour L fini, la définition de la limite doit permettre de conclure.
Il y a quand même quelque chose qui me semble bizarre dans ton énoncé, il manque pas des valeurs absolues aussi autour de ?
Parce que sinon est convexe , coercive et n'est pas minoré par une fonction affine de pente positive ...
oui il y a la valeur absolue dans l'énoncé, j'ai bien écrit "coercive c'est à dire limite de |f(x)| -> + infini quand x -> + ou - infini."
Ah oui c'est écrit sans la valeur absolue effectivement, ce doit être une coquille dans l'énoncé alors.
Bonjour,
ce doit être une coquille dans l'énoncé alors.
Je ne pense pas, intuitivement, il suffit que
et 
soient suffisamment grands pour que la courbe représentant f soit tout entière dans le V délimité par les 2 demi-droites |x|-Plus exactement
suffisamment petit et suffisamment grandToujours avec l'exemple
Je pensais que la fonction f , réelle, devait tendre vers + l'infini en + et - l'infini pour être coercive. Je me trompais donc...
Je pensais que la fonction f , réelle, devait tendre vers + l'infini en + et - l'infini pour être coercive. Je me trompais donc...
C'est surtout l'énoncé qui se trompait
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