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Fonction cube
Bonjour,
j'ai un QCM dans lequel on me demande :
Soit la fonction f définie sur R par f(x)= x au cube. Quelle propriété peut-on déduire pour f ?
A. Elle admet un extremum en x=0
B.Elle est croissante sur son domaine de définition
C.Elle admet une dérivée première strictement positive
D. Elle admet une dérivée seconde strictement positive
La seule réponse bonne est la C, or je ne comprend pas pourquoi la A et la B ne pourraient pas convenir :
Pour moi, un extremum est une valeur à laquelle x=0 et où la fonction change de signe et sur la représentation graphique tel est le cas on passe de valeurs négatives à des valeurs positives
Et pour la B, le domaine de définition de la fonction cube étant [-infini; + infini] et vu que la fonction (toujours d'après la représentation graphique) est toujours croissante, j'ai du mal comprendre pourquoi elles sont fausses.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer svp?
Bonjour,
un extremum : ce n'est pas la fonction qui change de signe, c'est sa dérivée.
quelle est la dérivée de f(x) ?
"la seule réponse est la C" : qui te l'a dit ?
Bonjour
Ta définition d'extremum est fausse. Un extremum local est un point ou la fonction atteint un maximum ou un minimum local. Ce n'est pas le cas ici, justement parce qu'elle vaut 0 et change de signe.
B est vraie.
C. Calcule la dérivée et regarde si elle s'annule ou pas!
D. Calcule la dérivée seconde.
Pour un extremum local, la dérivée s'annule en changeant de signe
La fonction cube est le contre-exemple pour
Si la courbe admet un extremum en alors
Mais, la réciproque est fausse. Ce n'est pas parce que la dérivée s'annule en qu'il y a un extremum.
B est vraie, certes, on peut préciser qu'elle est strictement croissante (elle ne s'annule qu'en un point isolé ici 0)
C est fausse, car donc l'inégalité n'est pas stricte
Merci beaucoup pour toutes vos réponses
Concernant la réponse, elle vient d'un QCM d'un concours et il n'y a qu'une seule réponse bonne pour chaque question, le correctif indiquant que c'est la C.
Je prend note de la définition d'un extremum, merci
En résumé, la A est complétement fausse
la B est bonne
la C me semble bonne car la fonction étant f(x)=x au cube
f'(x)= 3x² et donc quelle que soit la valeur de x la dérivée sera forcément positive car mise au carré et multipliée par 3, c'est correct ?
la D f''(x) = 6x donc c'est faux car si on introduit une valeur négative la dérivée seconde le sera aussi
Merci beaucoup pour vos corrections
oui, la B est correcte.
la C dit "f'(x) strictement positive" , or 3x² s'annule pour x=0...
donc la C est fausse.
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