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Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles

Posté par
HouseMusic 16-05-23 à 21:47

Bonjour,

Je rencontre un problème lors de la résolution d'un exercice dans lequel j'ai besoin de déterminer l'expression d'une fonction de 3 variables f(x,y,z) à partir de ses dérivées partielles et la condition suivantes :

\begin{cases}{}\partial_{x} f=z+1&\\ \partial_{y} f=-1&\\ \partial_{y} f=x+2&\\ f(0,0,0)=3&\end{cases}

J'ai donc résolu ce problème avec la même méthode que si on avait une fonction de deux variables :

1. J'ai primitivé \partial_{x} f :

\int^{}_{} \partial_{x} f=\int^{}_{} (z+1)\partial x=(z+1)x+C(y,z) (la dérivée partielle de f par rapport à x est donnée dans l'énoncé)

C(y,z) correspondrait à une constante d'intégration mais il s'agit d'une fonction dépendante de y et z.

2. J'ai ensuite dérivé partiellement par rapport à y l'expression précédente :

\frac{\partial }{\partial y} \left( (z+1)x+C(y,z)\right)  =0+\frac{\partial }{\partial y} \left( C(y,z)\right)  =-1\Leftrightarrow \frac{\partial }{\partial y} \left( C(y,z)\right)  =-1

3. Intégration de l'expression par rapport à y :

\int^{}_{} \frac{\partial }{\partial y} \left( C(y,z)\right)  dy=\int^{}_{} (-1)dy=-y+C(z) (la dérivée partielle de f par rapport à y est donnée dans l'énoncé)

4. Dérivation par rapport à z :

\frac{\partial }{\partial z} (-y+C(z))=0+x+2\Leftrightarrow C^{\prime }(z)=x+2 (la dérivée partielle de f par rapport à z est donnée dans l'énoncé)

5. Intégration par rapport à z de l'expression trouvée :

\int^{}_{} C^{\prime }(z)=C(z)=\int^{}_{} (x+2)dz=(x+2)z+k

k est ici la constante d'intégration que l'on pourra déterminer avec la condition que f(0,0,0)=3.

6. Tous rassembler dans l'expression de départ :

\begin{cases}f(x,y,z)=(z+1)x+C(y,z)&\\ C(y,z)=-y+C(z)&\\ C(z)=(x+2)z+k&\end{cases} \Leftrightarrow f(x,y,z)=(z+1)x-y+(x+2)z+k

Réarrangement : f(x,y,z)=(2z+1)x-y+2z+k

Ce qui est faux car je devrais trouver f(x,y,z)=(z+1)x-y+2z+k

Pourriez-vous m'aider à résoudre cela car je suis apparemment la seule personne sur internet à poser la question pour 3 variables .

Vous souhaitant une agréable journée !

Posté par
GBZMre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 21:57

Bonsoir,
Tu as laissé tomber le (x+1)z dans l'expression de f !
Par ailleurs, il est maladroit d'appeler par la même lettre C des choses différentes.

Posté par
GBZMre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 22:07

Je précise : c'est dans ton point 4 que tu l'as laissé tomber.

Posté par
HouseMusicre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 22:12

Bonsoir, je ne comprends pas à quoi (x+1)z fait référence, pourriez-vous m'indiquer la ligne s'il vous plait ?

Posté par
HouseMusicre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 22:20

Pour le point 4, on a bien : \frac{\partial }{\partial z} (-y+C(z))=\frac{\partial }{\partial z} (-y)+\frac{\partial }{\partial z} (C(z))\Leftrightarrow 0+C^{\prime }(z)=x+2

étant donné que l'expression de \frac{\partial }{\partial z} f est donné dans l'énoncé comme \frac{\partial }{\partial z} f=x+2

je ne vois pas l'impact sur le reste du raisonnement

Posté par
GBZMre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 22:21

Je t'ai dit précisément : dans le point 4.
Puisqu'il faut mettre les points sur les i : f(x,y,z), ce n'est pas -y+C(z), mais (x+1)z-y+C(z).

Posté par
HouseMusicre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 22:38

Je ne vois pas de (x+1)z dans mon exercice, voulez-vous plutôt dire : (z+1)x ? Ce qui correspondrait à l'expression de \frac{\partial }{\partial x} f dans les conditions de l'énoncé ?

Posté par
HouseMusicre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 16-05-23 à 23:13

En effet, le problème venait de là, j'avais oublié d'ajouter (z+1)x dans l'étape 4. Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
GBZMre : Fonction de 3 variable à partir de ses dérivées partielles 17-05-23 à 11:18

Avec plaisir, et mes excuses pour l'interversion entre x et z.


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