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Fonction de classe C infini

Posté par
Ludivine 05-02-13 à 19:39

Bonjour,
j'ai du mal avec un exercice qui m'a été donné, je bloque à partir de la deuxième question. Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice pas à pas ? Je vais vous mettrai à la suite les éléments de réponse que j'ai trouvé pour la première question et ce que j'ai entrepris de faire pour la 2ème sans grand succès.

Voici l'énoncé :

Soit f : une fonction définie par :
       x ]0,1[ , f(x) =  e^{\frac{1}{x(x-1)}}
       x ]-,0] , f(x) = 0
       x [1,+[ , f(x) = 0

On note f^{(n)} la dérivée d'ordre n de f.

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme P_n à coefficients réels tel que :

               x ]0,1[ , f^{(n)}(x) =  f(x) \frac{P_n(x)}{(x(x-1))^{2n}}  

Pour tout n1 on exprimera P_{n+1} en fonction de P_n et de P_n'.

2) Le calcul des premiers polynômes P_n (Maple) semble indiquer que le degré de P_n serait égal à 3n-2. Démontrez le. Donner la valeur du coefficient dominant correspondant.

3) Calculer pour tout n : P_n(0) et P_n (1)

4) Démontrer que

f^{(n)}(x) \frac{1}{x^{2n}} f(x)  lorsque x 0^+

et

f^{(n)}(x) \frac{(-1)^n}{(x-1)^{2n}} f(x)  lorsque x 1^-

En déduire que :
\lim_{x\to \(0^+} f^{(n)}(x) = 0 et \lim_{x\to \(1^-} f^{(n)}(x)

5) Démontrer que f est une fonction de classe C infini. On demande un raisonnement précis basé sur une récurrence.


Voici mes éléments de réponses à la première question et un essai pour la 2 ème :

1) J'ai calculé les 2 premières dérivées de f et j'ai trouvé :

f'(x) = \frac{(1-2x)}{(x(x-1))^{2}} f(x)

f''(x) = f(x) * \frac{(2x-1)(3x^3-4x^2+2x)}{(x(x-1))^{4}}

J'ai donc conclu qu'à chaque fois la dérivée se mettait sous la forme : f(x)\frac{P_n(x)}{(x(x-1))^{2n}} et j'ai fait une récurrence :

Soit n1. Supposons que P_n / x ]O,1[ :

f^{(n)}(x) =  f(x) \frac{P_n(x)}{(x(x-1))^{2n}}  

J'en conclu alors :
f^{(n+1)}(x) =  f(x) [ (\frac{P_n(x)}{(x(x-1))^{2n}} * \frac{(1-2x)}{(x(x-1))^{2}}) + \frac{P_n '(x)}{(x(x-1))^{2n}} - P_n(x) 2n \frac{(2x-1)}{(x(x-1))^{2n+1}}

et on a donc P_{n+1} = P_n(x) [2-4x] + (x(x-1)) P_n'(x)

2) Pour celle-ci j'ai essayé de partir en disant que Pn semblait être de degré 3n-2 d'après les calculs précédents, donc que Pn s'écrivait sous la forme suivante :

P_n(x) = ax^{3n-2}+... et
P_n'(x) = a(3n-2)ax^{3n-3}+...

et j'ai ensuite essayé d'exprimer P_{n+1} en fonction de ces deux polynômes mais je n'arrive pas à prouver le résultat et encore moins à trouver le coefficient dominant. Pourriez-vous m'aider ?

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 05-02-13 à 22:02

Pour la 2, dérive $f^{(n)}$ comme un produit, ca te donnera la relation de récurrence sur les polynomes, que tu pourras utiliser pour ta démonstration

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 05-02-13 à 22:30

Mais si je fais ça je retombe sur l'expression de P_{n+1} que j'ai trouvé, non ?

Et je ne vois pas comment faire car on trouve alors que P_{n+1} est de degré 3n-1 étant donné l'hypothèse de récurrence qui est que Pn est de degré 3n-2, donc ça ne va pas non ?

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 05-02-13 à 22:33

Mais en regardant les premières dérivées on voit que le terme de degré 3n-1 s'annule, je dois le préciser dans l'hypothèse de récurrence alors ?

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 05-02-13 à 22:42

Ah oui je n'avais pas lu tout ton message. Mais ta dérivée me parait franchement suspecte, et ton résultat sur Pn+1 visiblement faux

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 05-02-13 à 22:51

En plus pour $P_n+1$, il faut exprimer l'expression avec $(x(x-1))^{2n+2}$ au denominateur

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 14:26

Oui en effet j'ai remarqué ce matin que je m'étais trompé. Après un nouveau calcul j'ai donc touvé :

P_[n+1}= (x(x-1)^2 P_n'(x) + [1-2x - 2n(2x-1)(x(x-1))]P_n(x)

Et donc par récurrence j'ai bien trouvé que P_{n+1} était également de degré 2n-3.

Par contre, j'ai essayé plein de trucs pour tenter de trouver le coefficient dominant et le démontrer mais je n'ai pas réussi. D'après les deux premières dérivées que j'ai calculé, j'aurai tendance à penser que c'est : (-1)^n(n+1)^n + (n-1) mais ça me parait bizarre quand même, et aucun moyen de savoir si c'est juste. Pourriez-vous m'aider ?

Je ne sais également pas partir pour la question 3 où on doit calculer pour tout n Pn(0) et Pn(1)

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 14:29

De degré 3n-2 pardon

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 14:57

La relation sur les P doit te donner une relation de recurrence sur les coefs dominants aussi, ecris juste la formule avec les termes de plus haut degré

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 15:12

Pour les coeffs dominants finalement j'ai trouvé qu'il s'agissait de :

(-1)^n(n+1)!

J'ai réussi à le démontrer par récurrence et ça colle avec mes premiers calculs de Pn. Merci beaucoup.

Cette fois j'en suis à la question 3 où on doit calculer pour tout n Pn(0) et Pn(1). Comment m'y prendre en sachant que j'ai uniquement l'expression de Pn+1 ?

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 15:36

J'ai fait le calcul pour P_1 et P_2 :

P_1 = 1-2x \\
P-2 = 6x^2 - 12x^3 + 8x^2 - 2x

J'ai donc P_1(0) = 1       P_2(0)=0 \\ P_1(1) = -1             P_2(1) = 0

Mais avec ça je vois pas comment trouver le résultat

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 15:39

Ca sent le calcul de limites et le prolongement par continuité ça

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 15:43

Comment ça ? Je suis désolée mais je vois vraiment pas comment m'y prendre... Comment je peux calculer la limite de quelque chose que j'ai pas ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 15:47

Bonjour

Si la relation de 14:26 est vraie (ce que je n'ai pas vérifié) il me semble qu'en faisant x=0 ou x=1 on doit trouver des relations de récurrence plutôt sympa!

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:06

En faisant ça je trouve :

P_{n+1}(0) = P_n(0) \\ \\ et P_{n+1}(1) = - P_n(1)

Ce qui ne colle pas avec mes résultats... J'en déduis que ma formule est fausse ?

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:19

Pour tes expressions de P1 et P2, je pense que tu oublies encore que tu dois avoir $(x(x-1))^{2n}$ au denominateur

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:23

Je n'en sais rien, mais pour ce que j'en vois, ça a l'air de coller!

Posté par
Ludivinere : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:24

Je me suis effectivement trompée dans l'expression de P2.

Donc avec cette rectification, la formule que j'ai trouvé pour Pn+1 marche bien et j'ai donc pour tout n :

P(0)= 1 et P(1)=(-1)^n

Je pense maintenant pouvoir terminer l'exercice toute seule. Merci beaucoup à tous pour votre aide et pour le temps que vous m'avez accordé, je vous en suis très reconnaissante

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:26

Mais je t'en prie
Et merci a Camilla pour son intervention plus que judicieuse

Posté par
Yotare : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:27

Camélia*.... wow j'ai besoin de sommeil moi

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction de classe C infini 06-02-13 à 16:34


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