Bonjour,
j'ai du mal avec un exercice qui m'a été donné, je bloque à partir de la deuxième question. Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice pas à pas ? Je vais vous mettrai à la suite les éléments de réponse que j'ai trouvé pour la première question et ce que j'ai entrepris de faire pour la 2ème sans grand succès.
Voici l'énoncé :
Soit f : une fonction définie par :
x ]0,1[ , f(x) =
x ]-,0] , f(x) = 0
x [1,+[ , f(x) = 0
On note la dérivée d'ordre n de f.
1) Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme à coefficients réels tel que :
x ]0,1[ ,
Pour tout n1 on exprimera en fonction de et de '.
2) Le calcul des premiers polynômes (Maple) semble indiquer que le degré de serait égal à 3n-2. Démontrez le. Donner la valeur du coefficient dominant correspondant.
3) Calculer pour tout n : (0) et (1)
4) Démontrer que
lorsque x
et
lorsque x
En déduire que :
= 0 et
5) Démontrer que f est une fonction de classe C infini. On demande un raisonnement précis basé sur une récurrence.
Voici mes éléments de réponses à la première question et un essai pour la 2 ème :
1) J'ai calculé les 2 premières dérivées de f et j'ai trouvé :
f'(x) = f(x)
f''(x) = f(x) *
J'ai donc conclu qu'à chaque fois la dérivée se mettait sous la forme : f(x) et j'ai fait une récurrence :
Soit n1. Supposons que / x ]O,1[ :
J'en conclu alors :
) +
et on a donc
2) Pour celle-ci j'ai essayé de partir en disant que Pn semblait être de degré 3n-2 d'après les calculs précédents, donc que Pn s'écrivait sous la forme suivante :
et
et j'ai ensuite essayé d'exprimer en fonction de ces deux polynômes mais je n'arrive pas à prouver le résultat et encore moins à trouver le coefficient dominant. Pourriez-vous m'aider ?