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Fonction de classe C infini
Bonjour, Je dois montrer que la fonction
f : x
ln(1+x)/ (x(1+x)) si x 
)-1, +
( privé de 0
2 si x = 0
est de classe C sur )-1, +(.
Je pense procéder par récurrence, pour cela J'ai donc calculer f' et f''. Je pensais supposer la fonction de classe Cn et montrer que f(n) existe et est continue sur I privé de 1, et admet une limite finie en 0. Alors Je pourrai dire que f est n fois dérivable sur I privé de 1.
Est ce correct ? Merci 
Pour x > -1 et x 
0 tu as f(x) = -
.
Il te suffit donc de montrer que g : ]-1 , +[ 
, définie par g(0) = 1 et g(x) = pour x > 1 non nul est C
.
Je ne comprends pas pourquoi vous ne prenez pas en compte -ln(1+x)/(x+1), à moins que ce ne soit parce qu'elle sont pas peu de choses près "semblales"..
Mais on en revient au même probleme, Je ne vois pas comment montrer qu'elle est C, à par en procédant par récurrence en calculant des dérivées n ieme.
x -ln(1+x)/(x+1), de ]-1 , +[ vers [ est C .
Pour voir que g est C il suffit de montrer qu'en 0 elle admet des dérivées de tous les ordres et pour ça , puisqu'elle est indéfiniment dérivable en tout x 0 , que pour tout n 
* , f(n)(x) admet une limite lorsque x tend vers 0 .
Une relation entre g et g ' sur ]-1 , +[ \{0} peut être utile.
Ainsi qu'une récurrence .
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