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Fonction de naturels injective : résultat sur une somme

Posté par
Jezebeth
03-01-18 à 17:02

Bonjour,

J'aurais aimé savoir comment vous démontreriez joliment (sans sortir de bulldozer !) la chose suivante. Je n'ai rien qui me vient à part peut-être l'absurde sans grand argument pour l'instant. Merci par avance de vos lumières !

Soit

f:N^*\rightarrow N^* injective. Montrer :

\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=1}^{n}{\frac{f(k)}{k^2}}=+\infty

Posté par
jsvdb
re : Fonction de naturels injective : résultat sur une somme 03-01-18 à 17:17

Bonjour Jezebeth.
Une idée :
On peut caractériser l'injection f "à la mode Cauchy".
Si p <q sont deux entiers naturels, que dire de l'ensemble f(\{p;p+1;\cdots;q-1;q\}) ?
Pour p tendant vers l'infini, cet ensemble sera toujours minoré par un certain n(p) qui tendra vers l'infini.
Il reste alors à minorer les sommes partielles de p à q.

Posté par
jsvdb
re : Fonction de naturels injective : résultat sur une somme 03-01-18 à 17:37

Une autre idée plus simple : remplacer f par \tilde f, l'injection ayant même image que f et qui soit strictement croissante.
Du coup, on va avoir \sum_{k=1}^{n}{\frac{f(k)}{k^2}} \geq \sum_{k=1}^{n}{\frac{\tilde f(k)}{k^2}}

Posté par
Jezebeth
re : Fonction de naturels injective : résultat sur une somme 03-01-18 à 19:45

Merci à toi jsvdb.

La seconde idée me plaît bien ! Pourrais-tu montrer comment tu le rédigerais s'il te plaît ? On peut passer l'existence, on s'en convainc, mais pour justifier formellement la majoration et la divergence ?

Posté par
jsvdb
re : Fonction de naturels injective : résultat sur une somme 03-01-18 à 22:34

On pose donc \forall n \in \N^*,~\tilde f(n) = \inf \{f(p) / p \geq n \} .

0- \tilde f est bien définie car on prend l'inf d'un ensemble bien ordonné.

1- \tilde f est croissante car \{f(p) / p \geq n+1 \} \subset \{f(p) / p \geq n \}

2- f injective implique que \{f(p) / p \geq n+1 \} \subsetneq \{f(p) / p \geq n \}

3- 1- et 2- impliquent que \tilde f est strictement croissante et on a évidemment \tilde f(n) \leq f(n)

4- donc \tilde f(n)/n^2 \leq f(n)/n^2.

5- \tilde f strictement croissante implique n \leq \tilde f(n)

6- donc 1/n \leq f(n)/n^2 et les sommes partielles suivent.

7- Conclusion triviale sur la série.

Posté par
Jezebeth
re : Fonction de naturels injective : résultat sur une somme 03-01-18 à 23:03

Brillant !

Merci beaucoup, je me permets de la conserver dans mon cahier si cela ne te dérange pas.

Posté par
jsvdb
re : Fonction de naturels injective : résultat sur une somme 03-01-18 à 23:38

Absolument pas

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