Niveau école ingénieur

Fonction de répartition couple

Posté par
Witaek 22-11-21 à 19:04

Bonjour/Bonsoir à tous,

Les révisions dans mes partiels m'ont conduits à revoir un exercice fait plus tôt dans l'année mais dont je n'arrive pas à comprendre la correction d'une question.

Voici l'énoncé : "On considère une famille de n variables aléatoires continues $X_1,X_2,...,X_n$ indépendantes et de même densité de probabilité $f_X$ sur $\R$ .

1. Montrer que ; $I_n = inf _{1\le k \le n}(X_k)$ et $S_n = sup_{1\le k \le n}(X_k)$ sont des variables aléatoires continues, dont on déterminera les densités de probabilité.

2. Calculer la fonction de répartition $F_{I_n,S_n}$ du couple aléatoire (In,Sn) (on pourra l'exprimer avec profit à l'aide de la probabilité $P(I_n > x | S_n \le y)$ "

Pour la première question aucun soucis, je vous passe les détails mais on trouve :

$F_{S_n} = [F_X(x)]^n$
et $F_{I_n}=1-[1-F_X(x)]^n$ d'où $f_{I_n}(x)=nf_X(x)(1-F_X(x))^{n-1}$ .

Maintenant la question 2 me pose problème. Dans ma correction il est écrit : $F_{I_n,S_n}(x,y)=P(I_n \le x, S_n\le y) \\ = P(S_n\le y)(1-P(I_n > x|S_n\le y) \\ = P(S_n\le y) - P(I_n>x, S_n \le y) \\ = F_{S_n}(y)- P(x \le I_n\le y) \\= F_{S_n}(y) - [ F_X(y) - F_X(x) ]^n 1_{y\ge x} \\\\\frac{\partial F_{I_n,S_n}(x,y)}{\partial x}=nf_X(x)[F_X(y)-F_X(x)]^{n-1} 1_{y\ge x} \\ \\f_{I_n,S_n}(x,y)=n(n-1)f_X(x)f_X(y)[F_X(y)-F_X(x)]^{n-2} 1_{y\ge x}$

Je ne comprends plus à partir de la 5e ligne de calcul ou j'aurais plutôt écris : $F_{S_n}(y) - P(x \le I_n\le y) \\ = F_{S_n}(y) - [F_{I_n}(y) - F_{I_n}(x)] \\ =F_{S_n} (y) - [ 1 - (1-F_X(y))^n - 1 +(1-F_X(x))^n] \text{ d'après la question 1 }\\ = F_{S_n} (y) - [ (1-F_X(x))^n - (1-F_X(y))^n] \\ =...$

Ce qui ne donne pas la même chose quand on fait les dérivées partielles pour obtenir la densité.
Quelle est l'erreur dans mon raisonnement et pourriez vous expliquer la démarche de la correction (notamment l'introduction de la fonction indicatrice) ?

Je vous remercie d'avance !

PS : Je vous prie de m'excuser d'avance pour les probables coquilles qui se seraient glissées dans mes calculs en LaTex

Posté par re : Fonction de répartition couple 23-11-21 à 11:18

Bonjour,

C'est à la quatrième ligne que se situe le problème, il faut lire
$P(x\leq I_n, S_n\leq y)$ , la probabilité de l'événement où tous les $X_i$ sont compris entre $x$ et $y$ . La cinquième ligne est bien correcte.

Tu remarqueras que si $x>y,$ alors $P(x<X<y)$ n'est pas $F_X(y)-F_X(x)$ (qui serait négatif en général !), mais 0.

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