Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Fonction de répartition et loi

Posté par
Ennydra 05-03-18 à 21:28

Bonjour,

J'aimerais simplement connaître la différence entre loi de probabilité et fonction de répartition.

J'ai une fonction de répartition d'une variable aléatoire X : F(x) = \frac{1}{2} 1_{[0,1)} + (1-e^{-x}) 1_{[1,\infty)} que j'ai réécrit \begin{cases} 1/2 & \text{ si } 0 \leq x < 1 \\ 1-e^{-x} & \text{ si } x \geq 1 \\ 0 & \text{ si } x<0 \end{cases}.

On me demande de calculer la loi de Y sachant que Y=X 1_{[0,1)}. Puis la fonction de répartition de Z sachant que Z=X 1_{(1,\infty)}.

Pour la fonction de répartition de Z, je crois comprendre que Z vaut X sur ]1,\infty[, puis est nulle ailleurs. Donc Z vaut 1-e^{-x} sur ]1,\infty[ et 0 ailleurs... Mais je sais que c'est faux...

Du coup j'ai vraiment du mal à saisir le sens des questions. Si quelqu'un pouvait m'expliquer la différence entre la fonction de répartition et la loi, je lui en serais déjà très reconnaissante. Merci d'avance.

Posté par
verdurinre : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 22:20

Bonsoir,
La fonction donnée n'est pas une fonction de répartition : elle n'est pas croissante.

Posté par
verdurinre : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 22:23

Oups
je me suis trompé.
C'est bien une fonction de répartition.

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 22:39

Ce n'est pas grave !

Je me demande si la fonction de répartition de Z est bien :
\begin{cases} 1-e^{-x} & \text{ si } x > 1 \\ 0 & \text{ sinon } \end{cases}

Posté par
verdurinre : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 23:12

En fait ça dépend de la définition d'une fonction de répartition.
Celle que j'utilise est F(t)=P(Xt).
Je sais que certains utilisent F(t)=P(X<t).

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 23:13

Bonsoir Ennydra.
Ce que l'on te demande, c'est simplement F_Y(t) = \mathbb P(Y \leq t) = \mathbb P(X\mathbf 1_{[0;1[} \leq t).
On voit très clairement que (Y < 0) = \emptyset donc \mathbb P(Y < 0) = 0 donc la fonction de répartition de Y est nulle sur ]-\infty;0[
Si t \geq 1 alors clairement \mathbb P(Y\leq t) = 1 donc la fonction de répartition de Y vaut 1 sur [1;+\infty[
Il reste donc à déterminer ce qu'il se passe sur [0;1[ ...

Tu tiens alors un raisonnement identique avec Z.

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 23:34

Ennydra @ 05-03-2018 à 22:39

Je me demande si la fonction de répartition de Z est bien :

\begin{cases} 1-e^{-x} & \text{ si } x > 1 \\ 0 & \text{ sinon } \end{cases}

Impossible ! Pourquoi ?

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 23:38

Ah désolé verdurin, salut ! j'avais pas vu ta réponse qui va dans le même sens que le mien ... on utilise bien la même définition.

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 23:49

Merci  beaucoup !
En effet ma "fonction de répartition" (qui n'en est pas une) trouvée à 22:39 ne respecte pas les critères d'une fonction de répartition (ne tend pas vers 1 en l'infini, etc)...

La loi de Y est-elle \begin{cases} 0 & \text{ si } t < 0 \\ 1/2 & \text{ si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{ si } x \geq 1 \end{cases}.

Je vais essayer de chercher celle de Z !
Merci encore.

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 05-03-18 à 23:51

Je me suis mélangée entre t et x. N'en tenez pas rigueur !

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 06-03-18 à 01:01

Pour la loi de Y, ce n'est pas ça.
Il est clair que, d'après la loi de répartition de X, \mathbb P(X=0)=1/2,~\mathbb P(X\in ]0;1[)=0,~\mathbb P(X>1)=1-\mathbb P(X\leq 1)=e^{-1},

donc \mathbb P(Y=0)\geq 1/2 + e^{-1} \text { et } \mathbb P(Y\in ]0;1[) =0 donc

La loi de Y est \begin{cases} 0 & \text{ si } x < 0 \\ 1/2+e^{-1} & \text{ si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{ si } x \geq 1 \end{cases}.

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 06-03-18 à 01:42

Ennydra @ 05-03-2018 à 21:28

J'aimerais simplement connaître la différence entre loi de probabilité et fonction de répartition.

Une loi de probabilité est une mesure sur les boréliens de \R, vue au travers d'une variable aléatoire.
Plus précisément :

d'une part :

on se donne un espace probabilisé (\Omega, \mathcal T, \mathbb P) ainsi qu'une variable aléatoire, c'est-à-dire une fonction mesurable X : (\Omega, \mathcal T) \rightarrow (\R, \mathcal B(\R)).

Mais, très souvent, la loi \mathbb P et la tribu \mathcal T sont indescriptibles. On transporte alors \mathbb P sur (\R, \mathcal B(\R)) via X, ce qui est nettement plus accessible.

ET donc, par définition, la loi de X (ou loi de probabilité de X) est la mesure, notée \mathbb P_X, définie sur (\R, \mathcal B(\R)) par \mathbb P_X(B) = \mathbb P \circ X^{-1}(B)=\mathbb P(X\in B).

Rappel : la notation (X \in B) est mise pour \{\omega \in \Omega / X(\omega) \in B\}

Ceci étant posé, on peut alors parler des \mathbb P_X(]-\infty;t]) pour tout t réel.

d'autre part :

Si \mu est une mesure quelconque sur (\R, \mathcal B(\R)), alors la fonction F_\mu : \R \rightarrow \R_+ définie par F_\mu(t) = \mu(]-\infty;t]) s'appelle la fonction de répartition de la mesure \mu

Conclusion :

On peut donc appliquer à \mu = \mathbb P_X ce qui vient d'être dit précédemment.
On appelle alors fonction de répartition de la va X, la fonction de répartition de la loi de X. (il n'y a donc pas à proprement parler de fonction de répartition d'une VA, mais fonction de répartition de sa loi)

Ainsi, pour répondre à ton interrogation initiale :

- Une loi de probabilité est une mesure sur (\R, \mathcal B(\R)) (ou sur (\Z, \mathfrak P (\Z)) pour les va discrètes) déduite d'une variable aléatoire.

- Une fonction de répartition est une fonction (comme son nom l'indique) déduite d'une mesure sur (\R, \mathcal B(\R))

Et tant qu'on y est, une fonction f définie sur \R sera appelée densité de probabilité de \mathbb P si, \forall t\in \R, \mathbb P_X(]-\infty;t])=\int_{-\infty}^{t}{f(u)du}.

Ainsi posée, une densité de probabilité apparaît comme une sorte de dérivée de la fonction de répartition.

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 08-03-18 à 10:33

Franchement là MERCI BEAUCOUP à toi. C'est très complet et ça m'aide vraiment sur ces notions qui était très floues pour moi. Merci à toi jsvdb pour le temps que tu as pris pour me répondre

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 21-03-18 à 20:02

Bonjour,

Je me permets de revenir sur la loi de Y de cet exercice.
Après l'avoir bien étudié, je ne vois vraiment pas pourquoi lorsque t \in [0,1[, le e^{-1} est là.

Si t<0, alors \mathbb{P} (Y \leq t) = \mathbb{P} (X 1_{[0,1[} \leq t \in ]-\infty,0[) = 0 (ici c'est logique pour moi).

Si t \geq 1, alors \mathbb{P} (Y \leq t) = \mathbb{P} (X 1_{[0,1[} \leq t \in [1,+\infty[) = 1 (encore une fois je comprends bien ici)

Mais si t \in [0,1[ alors \mathbb{P} (Y \leq t) = \mathbb{P} (X 1_{[0,1[} \leq t \in [0,1[).
Pourquoi \mathbb{P} (X 1_{[0,1[} \leq t \in [0,1[) = \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X \in ]0,1[) + \mathbb{P}(X > 1) ? Pourquoi il y a ce \mathbb{P}(X > 1) ? Il y a sûrement quelque chose d'ultra logique qui m'échappe, ou alors je pose mal les choses, mais je n'arrive pas à comprendre ça

Posté par
verdurinre : Fonction de répartition et loi 21-03-18 à 21:46

Bonsoir Ennydra.
Je crois que jsvdb, que je salue, s'est trompé.

La loi de Y est très simple : P(Y=0)=1.

En effet :
     (1) si X [0 ;1[ alors Y=0 ;
     (2) si X [0 ;1[ alors X=0 et donc Y=0.

Pour le (2) il suffit de remarquer que la fonction de répartition de X est constante sur  [0 ;1[.

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 21-03-18 à 23:40

Bonsoir verdurin et Ennydra.

Effectivement, il y a une erreur conséquente dans mon explication 06-03-18 à 01:01, portant sur la bonne lecture de la fonction de répartition.

En revanche, verdurin, je subodore que comme \mathbb P(X\in [0;1[) = \mathbb P(X=0)=1/2 on a \mathbb P(X\notin [0; 1[)=1/2 et donc \mathbb P(Y=0)=\mathbb P(Y=1)=1/2. Il y avait donc un e^{-1} en trop

La fonction de répartition de Y est donc  \frac{1}{2}\mathbf 1_{[0;1[} + \mathbf 1_{[1;\rightarrow[} \\

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 22-03-18 à 00:10

Décidément, quand ça veut pas, ça veut pas ... Y = X\mathbf 1_{[0;1[} donc, ok, Y est presque surement nulle. verdurin, au temps pour moi

Ce que j'ai décrit, c'est la loi de la variable \tilde Y= \mathbf 1_{(X\in [0;1[)}

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 22-03-18 à 15:58

Merci

Pour la fonction de répartition de Z=X1_{]1,\infty[}...

Je cherche F_Z(t) = \mathbb{P}(Z \leq t)...

Si t < 0, alors \mathbb{P}(Z \leq t) = \mathbb{P}(X1_{]1,\infty[} \leq t < 0) = 0.

Si 0 \leq t \leq 1, \mathbb{P}(Z \leq t) = \mathbb{P}(X1_{]1,\infty[} \leq t \in [0,1]) = \mathbb{P}(X \leq 1) = F_X(1) = 1-e^{-1} .

Si t > 1, alors  \mathbb{P}(Z \leq t) = \mathbb{P}(X1_{]1,\infty[} \leq t \in ]1,+\infty[) = \mathbb{P}(X \leq t \in ]1,+\infty[) = 1-e^{-t} .

J'ai remarqué que pour Y, l'énoncé parle de loi alors que pour Z, il parle de fonction de répartition. J'espère que je suis juste !

Posté par
verdurinre : Fonction de répartition et loi 22-03-18 à 17:37

Je trouve la même fonction de répartition pour Z.

À propos de loi d'une variable aléatoire, on peut la donner comme on veut et la fonction de répartition est un des moyens de donner une loi.
Par exemple la loi de Y peut se donner par \mathbb{P}(Y=0)=1 ou par sa fonction de répartition F_Y(t)=\begin{cases}0&\text{si }t<0\\1&\text{si }t\geqslant 0\end{cases}

Pour des raisons évidentes je préfère la première méthode.

Posté par
jsvdbre : Fonction de répartition et loi 22-03-18 à 17:38

De toute manière il faut trouver la loi de Z avant d'avoir sa fonction de répartition 🙂

Posté par
Ennydrare : Fonction de répartition et loi 22-03-18 à 23:48

Merci pour vos réponses


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !