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fonction definie par integrale et TAF

Posté par
aya4545 25-04-22 à 00:21

Bonsoir
priere m orienter pour surmonter ce blocage et merci
soit F definie par F(x)=\int_x^{2x}\frac{f(t)}t dt  si    x \neq 0  et F(0)=0    f'(x)=1-f^2(x)    
1) montrez que  Fest impaire
2)montrez  que pour tout x strictement positif
f(x)\int_x^{2x} \frac 1t  dt\leq F(x)\leq f(2x)\int_x^{2x} \frac 1t \\ dt
3)deduire que \lim_{x\to +\infty} F(x)=ln(2) et que F est continue en 0
4) mq Fest derivable sur \R^{*+} et que pour tout x strictement positif F'(x)=\frac{f(2x)-f(x)}{x}
5)montrer que pour tout x strictement positif
1-f^2(2x)\leq \frac {F(x)-F(0)}x\leq 1-f^2(x)
6)deduire que F est derivable en 0 et que F'(0)=1
7)donner les variations de F sur R+

je bloque dans 5)
j ai appliqué TAF pour F sur [0 x] x>0  puis f sur [c  2c]
avec  \frac {F(x)-F(0)}x=F'(c) mais sans importance
le reste des questions est faisablle et merci

Posté par
aya4545re : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 00:27

je m excuse on sait f est strictement croissante

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 14:22

Bonjour,

J'ai l'impression (je me trompe peut-être) qu'il manque  des précisions au sujet de f (hormis le fait qu'elle soit strictement croissante et que f'(x)=1-f^2(x)

Par exemple, f ne serait-elle pas impaire ?

5) \dfrac{F(x)-F(0)}{x}=F'(c)=\dfrac{f(2c)-f(c)}{c} avec la TAF et c\in]0,x[

Puis encore une fois sur [c,2c] :

  \dfrac{f(2c)-f(c)}{c}=f'(c')=1-f^2(c') avec c'\in]c,2c[\subset]0,x[

enfin la croissance stricte de f permet d'écrire :

   1-f^2(2x)\leq 1-f^2(c')\leq 1-f^2(x)

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 14:43

Euh ... je crois que j'ai commis une erreur avec mes intervalles ...

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 15:13

Désolé, j'ai finalement essayé la même chose que toi et ça ne va pas ...

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 16:46

J'ai procédé à quelques "expérimentations"  avec la fonction f définie par f(x)=\tanh\,x=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} et qui vérifie :

   f'(x)=1-f^2(x) et strictement croissante sur \mathbb{R}.

  Il me semble que ta question 5) est fausse.

A confirmer ...

Posté par
larrechre : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 17:20

Bonjour lake,

Effectivement, avec la fonction que tu proposes, je trouve

F(1)0,609

1-f2(2)0,07

mais 1-f2(1)0,420

la deuxième inégalité n'est pas vérifiée.

De toute façon, pour démontrer la 6/, on peut se contenter des inégalités établies avec c et c' pour reprendre tes notations.

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 17:44

Bonjour larrech,

Merci de confirmer. On peut prouver la première partie de l'égalité (avec le TAF comme à 14h22)
Mais la seconde partie est fausse. (En 1, j'ai les mêmes valeurs que toi).

Une figure où le point R "devrait être" entre les points P et Q

fonction definie par integrale et TAF

Posté par
aya4545re : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 18:42

merci lake merci larrech
effectivement la deuxieme inegalitée est fausse la preuve le contre exemple que vous m avez donnée
1-f^2(2x)\leq \frac {F(x)-F(0)}x\leq 1 ca convient

Posté par
carpediemre : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 19:07

salut

moi j'aimerai déjà bien voir la question 3/ ...

Posté par
aya4545re : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 20:24

bonsoir
cet exercice est la troisieme partie d un grand probleme
la fonction f  tend vers 1 lorsque x tend vers l infini
xtend vers l infini donc 2x tend vers + l infini donc f(2x)\to + \infty
il est clair que \int_x^{2x} \frac 1t  dt \to ln(2) d apres 2) et le theoreme des gendarmes on a le resultat

Posté par
aya4545re : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 20:26

je corrige mon erreur
donc f(2x)\to 1

Posté par
carpediemre : fonction definie par integrale et TAF 25-04-22 à 20:58

ha d'accord je comprends mieux !!

mais tu ne nous avais pas tout dit !!

merci ...

ok pour l'infini ... mais en 0 ?

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 29-04-22 à 18:00

Bonjour à tous,

Je fais remonter ce fil  au cas où aya4545 repasse par ici.
Il y a effectivement beaucoup de questions :

  Les fonctions solutions de l'équation différentielle f'(x)=1-f^2(x)     sont de la forme x\mapsto \tanh (x+C) où  C est une constante arbitraire.

Et dès le départ, c'est à dire ici :

  

Citation :
1) montrez que  F est impaire


tout va mal si C\not=0

  Une condition pour que F soit impaire est que f le soit aussi.

La suite avec la continuité en 0 ne marche pas non plus.

>>aya4545 : quand on demande ici des énoncés complets, il y a des raisons
  

Posté par
malou Webmasterre : fonction definie par integrale et TAF 29-04-22 à 18:07

Bonjour à tous,

aya4545, vu que tu as recopié la partie qui te pose souci, tu peux poster le sujet entier sous forme de pdf en complément, qu'on voie un peu comment tout cela s'articule

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 29-04-22 à 18:12

Bonjour malou,

  

Posté par
aya4545re : fonction definie par integrale et TAF 30-04-22 à 12:33

bonjour
a la demande de malou et lake voici le pdf de tout le probleme ,il s agit d un bacc blanc dans un etablissement  en 2017
et bonne journée

pdf
PDF - 431 Ko

Posté par
carpediemre : fonction definie par integrale et TAF 30-04-22 à 12:41

ouais !! ben il en manquait vraiment beaucoup !!

f n'est pas quelconque mais est la fonction que lake nous donne à 16h46

il faut être plus rigoureux dans la rédaction d'un énoncé pour avoir toutes les informations nécessaires!!

Posté par
aya4545re : fonction definie par integrale et TAF 30-04-22 à 14:12

bonjour
l exercice je l ai recu de la facon dont je l ai communiquée
ce n est qu apres que j ai eu le pdf integral du probleme et  c est a ce moment là que je suis apercue que la fonction f est   celle  que lake nous  a donné à 16h46

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 30-04-22 à 14:49

Merci aya4545

Posté par
lakere : fonction definie par integrale et TAF 30-04-22 à 17:58

Je viens de remarquer le temps imparti dans le pdf d'aya4545 : 2 heures !

Posté par
carpediemre : fonction definie par integrale et TAF 30-04-22 à 19:11

ouais !!

et quand je vois : niveau : 2e bac SM je me dis que c'est un bac de Sado-Maso !!!           (enfin à voir ce que signifie réellement ce niveau !!)

parce que en France soit un prof qui donne un tel devoir au 21e siècle (depuis 2000) en Tle est un sadique soit l'élève qui l'accepte est un maso !!!   .... ou il aime les math ...(ce qui pour beaucoup revient au même !!)

Posté par
malou Webmasterre : fonction definie par integrale et TAF 01-05-22 à 14:17

Je ne sais pas si parfois vous jetez un oeil sur les "sujets venus d'ailleurs" dont je récupère les énoncés...
2021, descendre un peu dans la page...certains sujets sont pas mal
C'est ici : [lien]

Posté par
Razesre : fonction definie par integrale et TAF 09-05-22 à 22:10

Bonsoir,

@carpediem, niveau : 2e bac SM correspond au niveau Terminale C en France, les sujets sont légèrement plus corsés.

La durée de l'épreuve nationale de maths est normalement de 4 heures.

Le sujet de ce topic est un sujet blanc, l'école est privée donc un impose un rythme soutenu à ses candidats.

Parfois le sujet national présente des difficultés d'un niveau supérieur.

Posté par
carpediemre : fonction definie par integrale et TAF 10-05-22 à 08:31

merci malou et Razes pour ces info


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