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Niveau terminale
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Fonction définie par une intégrale

Posté par Profil Fifaliana36 26-06-19 à 18:43

Bonjour,
Svp aidez-moi. J'étais absent durant le cours alors qu'on a un devoir qui va être noté.
Mes camarades ont appris les démarches sur l'étude d'une fonction définie par une intégrale puis ont copié  ce devoir:
C'était un sujet de Baccalauréat Madagascar série scientifique 1999 à en croire ce qu'ils disent:
J'ai juste besoin d'un petit coup de pouce pour la première question car j'y comprends rien. Pour la suite,je le posterai si je cale.
Alors , Soit f la fonction définie sur par f(x)=\int 0 àx \frac{e^t}{1+e ^2^t)} dt
Pour tout x
1)a) montrer que f est dérivable suret Calculerf' fonction dérivée de f
Comment fait-on ?
Aidez moi svp

Posté par
malou Webmasterre : Fonction définie par une intégrale 26-06-19 à 18:49

si tu appelles F(t) une primitive de ton intégrande, exprime f(x) à l'aide de F et dérive ! que trouves-tu ?

Posté par Profil Fifaliana36Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:07

Bonjour,j'ai besoin d'aide svp sur cet exercice.
Soit la suite (Un)n définie par Un=\int_{0}^{\ln \frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{e^t}{1+e^2^t} e^n^t dt pour toutn.
1)a) utiliser la définition de Unpour montrer que p,
U2p+U2p+2=\frac{\frac{\frac{}{}\sqrt3{}}{3}(\frac{1}{3})^p-1}{2p+1}
b) Calculer U0 et U2
c) Montrer que pour tout n Un0
En déduire que pour tout n

\frac{(\frac{\sqrt{3}}{3})(\frac{1}{3})^n-1}{2n+1} \leq U\ _{2n} \leq 0
Calculer alors limn+ U2n

2)a) vérifier que pour tout p
(-1)^p U _{2p} +(-1)^p U_{2p+2} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{3})(-\frac{1}{3})^p-(-1)^p}{2p+1}
La suite est encore plus catastrophique à regarder, je la posterai à la suite de vos réponses car c'est pas facile de les écrire.
Merci d'avance à ceux qui veulent bien m'aider.

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:15

bonjour
euh...ça a quelque chose à voir avec ce sujet ? Fonction définie par une intégrale

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:18

Ah! Bonjour malou!
J'allais répondre; du coup, je m'abstiens

*** message déplacé ***

Posté par
fortissimo2re : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:23

pour la 1) utiliser la linéarité d'une intégrale (la somme de deux intégrales est l'intégrale de la somme) puis  factoriser pour mieux simplifier
Après calculs on trouve bien l'expression demandée

2) je ne pense pas que ça soit du niveau terminale car il faudrait un changement de variable ?
Quoiqu'il en soit le changement u = e^t fonctionne très bien pour u0
ensuite pour u2 on calcule avec la 1)

*** message déplacé ***

Posté par Profil Fifaliana36re : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:29

Citation :
bonjour
euh...ça a quelque chose à voir avec ce sujet ?  Fonction définie par une intégrale

Désolé,  faute c'est Suite et non pas fonction.

*** message déplacé ***

Posté par Profil Fifaliana36re : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:31

Et pourtant, c'est un sujet du Baccalauréat.

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:35

Bonjour lake

Fifaliana36, ce n'est pas du tout la question que je te pose
je veux savoir si ce sujet est issu du même problème que l'autre sujet que j'ai fléché ?

*** message déplacé ***

Posté par
fortissimo2re : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:35

Peut être une partie du programme qui a sombré dans les abysses avec les réformes ...
***message modéré***ici on aide, on ne fait pas à la place****

*** message déplacé ***

Posté par Profil Fifaliana36re : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:43

Ah bon!
Oui c'est la deuxième partie du sujet
Elle est indépendante de l'autre.
J'ai cru que j'ai fait une faute de frappe désolé de ne pas vous avoir compris.

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:45

donc tu fais du multipost !

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



Suite définie par une intégrale

*** message déplacé ***

Posté par
fortissimo2re : Suite définie par une intégrale 27-06-19 à 11:45

J'ai bien compris qu'on aidait ici mais le changement de variable n'est pas au programme de terminale
pourtant on peut bien faire la suite avec les notions de terminale si on a ce résultat intermédiaire ...

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Fonction définie par une intégrale 27-06-19 à 11:48

fortissimo2 , Fifaliana36 ne fait pas ses études sur le territoire français
qui plus est, s'il avait tout mis ensemble, tu aurais vu la date du sujet
et je pars du principe que si on lui demande, c'est qu'il connait...donc à lui de bosser sans faire de multipost

Fifaliana36

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 27-06-19 à 20:24

Désolé, désolé. En fait, j'étais malade et j'ai raté le cours où ils ont copié cet exo. Ils ont étudié les intégrales. Notre prof les a donné séparément comme des exercices différents genres exo n°1 et exo n°2. C'est un camarade de classe qui m'a prêté son cahier qui a soufflé que c'était un sujet du baccalauréat car il s'y connaît bien en matière de sujet. J'ai donc déduit que peut-être le sujet devait comporter deux parties indépendantes. Et j'ai évoqué ma supposition dans le post.
Encore désolé, et je respecte si vous ne voulez plus m'accorder de réponses.

Posté par
malou Webmasterre : Fonction définie par une intégrale 28-06-19 à 09:49

non...on peut t'aider, pas de soucis, mais respecte le règlement dorénavant

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 28-06-19 à 11:32

Bonjour,

Pour 1)b) et le calcul de u_0=\int_0^{\ln\,\frac{\sqrt{3}}{3}}\dfrac{e^t}{1+e^{2t}}\,\text{d}t

Sans parler de "changement de variable":

  Tu sais que \left(F\circ u\right)'=u'\times (F'\circ u).

  Ici, \dfrac{e^t}{1+e^{2t}}=u'(t)\times (F'\circ u)(t) où:

    u:\,t\mapsto e^t

   F':\,u\mapsto \dfrac{1}{1+u^2}    (et F(u)=\arctan\,u)

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 28-06-19 à 17:33

Merci du fond du cœur, ce sujet est encore incomplet car c'était très difficile de le saisir. Est-ce que je peux le continuer ici? Pour ne pas refaire de gaffe

Posté par
malou Webmasterre : Fonction définie par une intégrale 28-06-19 à 17:41

oui, tu le poursuis ici

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 28-06-19 à 18:34

Bon,

[b]Suite de la partie avec la fonction[/b]
b) En effectuant un changement de variable t=-u, montrer que f est une fonction impaire.
Étudier les variations de f sur le domaine d'étude [0; + ( ouvert)
2)a) montrer que t≥0, on a:
\frac{e^t}{1+e^2^t}\leq e^-^t.
b) en déduire quex≥0: f(x)≤ 1
c) montrer que f admet une limite finie l, en +, avec l≤1.
d) tracé de (C). Avec l= \frac{\pi }{4}
3) soit g la fonction définie sur (ouvert) 0; \frac{\pi }{4} par g(x)= ln(tanx), x

\left<0; \frac{\pi }{2}\right>
a) montrer que g est dérivable sur \left<0; \frac{\pi }{2}\right> , calculer g' et dresser son tableau de variation.
b) montrer que g réalise une bijection de
\left<0; \frac{\pi }{2}\right> vers une intervalle J que l'on déterminera. On note g-1 la réciproque de g.
c) tracé de g et g-1.
4) soit H une fonction définie sur
\left<0; \frac{\pi }{2}\right> par H(x)= (fog)(x), x \left<0; \frac{\pi }{2}\right>
a) montrer que H est dérivable sur \left<0; \frac{\pi }{2}\right>
Et que sa dérivée est une fonction constante.
b) montrer alors que
x \left<0; \frac{\pi }{2}\right>
H(x)= x- π/4
c) en déduire que
\int_{0}^{ln\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{e^t}{1+e^2^t}}dt = -\frac{\pi }{12} (on remarquera que √3/3= tan π/6)

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 28-06-19 à 20:30

Suite de la partie avec la suite
b) en déduire que :
(-1)^n^-^1 U_{2n} - \frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-1}{1}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}(-\frac{1}{3})^1-(-1)^{1}}{3}+....+\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{-1}{3})^{n-1}-(-1)^{n-1}}{2n-1}
c) soit
Sn=\left[ \frac{(-\frac{1}{3})^1-(-1)^1\frac{\sqrt{3}}{3}{}}{1}+\frac{(-\frac{1}{3})^2-(-1)^2\frac{\sqrt{3}}{3}}{3}+....+ \frac{(-\frac{1}{3})^n(-1)^n\frac{\sqrt{3}}{3}}{2n-1}\right]
que l'on écrit Sn=\sum_{p=1}^{n}{\frac{-(\frac{1}{3})^p(-1)^p\frac{\sqrt{3}}{3}}{2p-1}}, n étoile

Montrer que limn+ Sn = π√3 /36

Voilà. Merci d'avance.

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 29-06-19 à 11:57

Bonjour,

  >> Fifaliana36:

On ne sait absolument pas où tu en es (que ce soit sur la partie fonction ou la partie suite).
La moindre des choses est  d'écrire ici même tes recherches et résultats.

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 29-06-19 à 13:18

Citation :
que l'on écrit Sn=\sum_{p=1}^{n}{\frac{-(\frac{1}{3})^p(-1)^p\frac{\sqrt{3}}{3}}{2p-1}}, n étoile


Non:

   \begin{aligned} S_n=\Sum_{p=1}^{n}\dfrac{ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^p{\red -}(-1)^p\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{2p-1}\end{aligned}

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 29-06-19 à 15:35

Je suis dans la partie étude de fonction
Question 1)b).

Posté par
malou Webmasterre : Fonction définie par une intégrale 29-06-19 à 15:43

eh bien montre ce que tu as écrit pour 1)b) et explique pourquoi tu demandes de l'aide
c'est le principe de notre site
(modérateur)

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 29-06-19 à 17:43

Une remarque:

La partie 1 (fonction) que tu n'avais pas postée en entier donne immédiatement le calcul de u_0 dans la partie 2 (suite).
Comme quoi, il faut toujours poster les énoncés intégralement et dans l'ordre...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 02-07-19 à 20:20

Bonjour, je vais poster ce que j'ai trouvé très prochainement car je suis encore trés débordé.

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 02-07-19 à 20:28

Bonjour,

Tu auras, au moins, un interlocuteur.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 04-07-19 à 20:10

Bonjour,
Sur la partie fonction 1)b) j'ai fait :
On pose t=-u donc
\int_{0}^{x}{\frac{e^-^u}{1+e^-^2^u}du}
Et je ne sais plus quoi faire pour en déduire que f est impaire.
Par contre je m'en sors pas mal pour la suite.

Posté par
carpediemre : Fonction définie par une intégrale 04-07-19 à 20:52

salut

si t = -u alors dt = -du ...

d'autre part  il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par exp (2u)

soit f(x) = \dfrac {e^x} {1 + e^{2x}} $ et $ F(x) = \int_0^x f(t)dt

F(-x) = \int_0^{-x} f(t)dt = \int_0^x f(-t)(-dt) = ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 05-07-19 à 17:12

Et pour la question 4) J'ai trouvé que H'(x)= -1 (constante).
Comment je fais pour la suite ?

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 05-07-19 à 18:37

Bonjour,

Tu t'es trompé: H'(x)={\red +}1

Ensuite, tu intègres; pour déterminer la constante, tu sais que:

  H\left(\dfrac{\pi}{4}\right)= f\left[g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]=f(0)=0

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 05-07-19 à 20:04

Merci,
Mais il y a un truc que je ne suis sur le post de Carpediem

Posté par
carpediemre : Fonction définie par une intégrale 05-07-19 à 20:15

pourtant tout est clair ... quand l'objectif est de montrer que F est impaire ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 05-07-19 à 20:27

Oui j'ai fait la relecture et je comprends maintenant.

C'est maintenant dans la partie suite que je cale

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 06-07-19 à 07:44

Bon, peut être que personne ne peut m'aider sur la partie Suite.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 06-07-19 à 09:11

Bon, pour la première question, a) en suivant vos conseils, j'ai remplacé n par 2p
Et j'ai aussi remplacé n par 2p+2 .
J'ai fait la somme et après factorisations j'obtiens
U_{2p} + U_{2p+2} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{e^t}{1+e^2^t} e^{2pt}(1+e^2^t) dt}
Et je sais plus quoi faire.

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 07-07-19 à 14:21

Citation :
U_{2p} + U_{2p+2} = \int_{0}^{{\red\ln}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{\frac{e^t}{1+e^2^t} e^{2pt}(1+e^2^t) dt}


Voyons, tu peux simplifier sous le signe intégrale par 1+e^{2t}.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 07-07-19 à 17:32

Je l'avais pas vu celle-là.
Merci de m'avoir éclairci

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 07-07-19 à 17:59

Maintenant pour montrer quen :
Un 0
J'ai raisonné par récurrence, U[sub]0=-12 <0 donc vraie au rang 0.
On suppose quen 0, Un0.
Maintenant pour démontrer que Un+10,je sais pas

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 07-07-19 à 22:38

1)c) Je ne pense pas que la récurrence soit vraiment indiquée ici:

  u_n=\int_0^{\ln\frac{\sqrt{3}}{3}}\dfrac{e^t}{1+e^{2t}}\,e^{nt}\,\text{d}t

Je pense qu'il est clair que la fonction t\mapsto \dfrac{e^t}{1+e^{2t}}\,e^{nt} est positive sur \mathbb{R} pout tout entier naturel n.

Il faut se pencher sur l'intervalle d'intégration: quel est le signe de \ln\,\dfrac{\sqrt{3}}{3} ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 08-07-19 à 18:23

C'est négatif.Donc on en déduit que Un0

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 08-07-19 à 22:38

Exactement.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 09-07-19 à 17:11

Maintenant pour la question 1)c)  la déduction. Comment je fais ?
Est-ce que comme Un0 donc U2n0?
Et pour\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{1}{3})^n-1}{2n+1}\leq U_{2n}
J'ai pensé à appliquer la relation trouvée en 1)a) on remplace p par n. Puis comme U2n0 donc U2n+U2n+10 car somme de deux nbes négatifs est encore plus négatif. On remplace U2n+U2n+2 par la relation en 1) et j'arrête car je trouve qu'il y a un truc qui ne va pas.
Pourriez vous m'aider ?

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 09-07-19 à 22:07

1)c) La déduction:

   Vu que pour tout n entier naturel,  u_{2n}\leq 0, on a l'inégalité suivante:

   u_{2n}+u_{2n+2}\leq u_{2n}\leq 0  (u_{2n+2} est négatif aussi).

dans laquelle on utilise la 1)a) pour le premier membre.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 10-07-19 à 08:44

Ok pour 1)c)
D'où
limn+ U2n=0
D'après le théorème des gendarmes.
2) maintenant comment vérifier la relation ?

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 10-07-19 à 09:26

Mais il suffit de multiplier les deux membres de la relation du 1)a) par (-1)^p pardi!

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 10-07-19 à 17:55

Ok

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction définie par une intégrale 10-07-19 à 20:06

Pour la déduction, je bloque.

Posté par
lakere : Fonction définie par une intégrale 11-07-19 à 11:50

Pour tout entier naturel p, on a donc l'égalité:

  (-1)^pU_{2p}+(-1)^pU_{2p+2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^p-(-1)^p}{2p+1}

On somme pour p allant de 0 à n-1:

\sum_{p=0}^{n-1}\left((-1)^pU_{2p}+(-1)^pU_{2p+2}\right)=\sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^p-(-1)^p}{2p+1}

Dans le premier membre, tu as une somme télescopique; il reste:

  (-1)^{n-1}U_{2n}+U_0=\sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^p-(-1)^p}{2p+1}

Et U_0, tu l'as calculé.

Pour c), il faut faire apparaître S_n: ça se passe très bien en mettant -\sqrt{3} en facteur dans la somme du second membre.

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