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Niveau Maths sup
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Fonction Dérivable

Posté par
Mathes1
18-12-21 à 13:08

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1)Soit f : [0, 1] → une fonction de classe C1
sur [0, 1] et deux fois dérivables sur ]0, 1[ telle que f(0) = 0, f(1) = 0,
f'(0) <0 et f'(1)> 0. On suppose, de plus, que ∀x ∈]0, 1[ on a f''(x) > 0.
(a) Montrer qu'il existe > 0 tel que pour tout x ∈ [0, ] :
f'(x) < 0.
(b) Montrer que f() < 0.
(c) On suppose qu'il existe β ∈]0, 1[ tel que f(β) = 0, montrer qu'il existe ∈]0, β[ et
∈]β, 1[ tels que
f'() = f'(σ) = 0. En déduire une contradiction.
(d) Déterminer le signe de f(x) pour tout x ∈]0, 1[.
voici mes suggestions:
pour a) et b)
Est ce qu'on doit utiliser le théorème des valeurs intermédiaire ou théorème de Rolle mais je ne sais pas comment l'utiliser une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance !

Posté par
lake
re : Fonction Dérivable 18-12-21 à 13:37

Bonjour,

a) Le théorème de Rolle permet d'affirmer qu'il existe u\in]0,1[ tel que f'(u)=0

Sur [0,u], f''(x)>0 donc f' (continue) est strictement croissante de f'(0)<0 à f'(u)=0

  Que se passe-t-il sur [0,\alpha] si 0<\alpha<u ?

Posté par
ty59847
re : Fonction Dérivable 18-12-21 à 13:41

Non... rien à voir.

En général, dans un exercice, il faut lire à fond l'énoncé.
On ne s'intéresse pas aux questions, on s'intéresse aux informations qu'on nous donne.
Relis l'énoncé, interprète chaque information, écris les informations complémentaires que tu peux en déduire.
Tu peux même faire des dessins, ça va bien t'aider.
Quand tu as bien extrait toutes les informations disponibles, tu peux commencer à lire les questions.
Les questions a) et b)  peuvent être faite directement ... sans ce travail de réflexion approfondi. C'est l'application directe du cours sur les dérivées.  Un exercice que tu as déjà dû faire en terminale.

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 19-12-21 à 20:49

Bonjour
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses
Après un long réflexion je trouve
Sur [0;] si ]0;c[
f '(x)< 0 :

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 20-12-21 à 14:29

Bonjour
merci pour votre intérêt

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 09:05

Bonjour

Merci beaucoup

Posté par
ty59847
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 09:37

Poster un message 'Up' , ça ne fait pas avancer le dossier.
Là on n'a pas la moindre idée de ce que tu as fait, de ce que tu n'as pas fait.

Je t'avais proposé de faire des dessins, pour 'voir les choses'. J'imagine que tu n'as rien fait.

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 09:41

salut

f'(0) < 0 et f'(1) > 0 et f"(x) > 0 sur ]0, 1[

donc f' est strictement croissante et d'après le TVI il existe un unique u de l'intervalle ]0, 1[ tel que f'(u) = 0

alors pour tout a < u : f'(x) < 0 sur l'intervalle [0, a]

f' < 0 sur l'intervalle [0, a] donc f est décroissante sur l'intervalle [0, a]
or f(0) = 0 donc f(a) < 0

c/ appliquer le théorème de Rolle ...

Posté par
etniopal
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 09:43

  Etant donné que  f''(x)  est > 0 pour tout x de [0 , 1} , f ' est strictement croissante de f'(0) à f'(1) .
   Que se passerai-t-il
                si f'(0)  était    0 ?
                     ou si
               si f'(1)était    

Posté par
etniopal
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 09:44

**    si f'(1)était     0

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 10:16

Bonjour
Je vous remercie énormément à tous
c) on applique le théorème de Rolle
Puisque la fonction f et continue et dérivable sur ]0;[ et ];1[ et f(0)=f()=0 d'après le théorème de Rolle il existe ]0;[ tel que f'()=0
Et on a f()=f(1)=0 d'après le théorème de Rolle ];1[ tel que f '()=0
ty59847 bonjour
Bien sûr que j'ai fait les schémas et les dessins et c'est plus de 2 jour que je réfléchis seul à résoudre cet exercice mais je n'aboutit à rien malheureusement
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 14:07

Pour d si je comprends bien
On a pour tout x ∈ [0, ] :
f'(x) < 0 c.à.d f est décroissante sur [0;]

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 14:10

bof ...

la fonction f' est strictement croissante donc si elle s'annule alors elle ne s'annule qu'une fois !!!

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 14:13

Est ce qu'il y a une erreur dans c) je ne comprends pas où je fais l'erreur
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 14:17

Mathes1 @ 18-12-2021 à 13:08

(c) On suppose qu'il existe β ∈]0, 1[ tel que f(β) = 0, montrer qu'il existe ∈]0, β[ et
∈]β, 1[ tels que f'() = f'(σ) = 0. En déduire une contradiction.

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 21-12-21 à 14:23

Ah oui c'est vrai ! J'ai oublié cette partie importante de la question ,
On trouve enfin f'()=f '()=0 contradiction !
Car f' est strictement croissante donc elle s'annule uniquement une fois et non 2 fois
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 11:43

Bonjour

Citation :
Pour d si je comprends bien
On a pour tout x ∈ [0, ] :
f'(x) < 0 c.à.d f est décroissante sur [0;]

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 12:59

tu n'as pas répondu à la question d/ ...

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 13:53

Le signe de f(x)
x]0;1[
On a f(x)<0 sur 0<<u
Puis f(x)>0 pour u<1

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 14:07

faux ...

mais as-tu fait un dessin ?

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 14:17

Oui j'ai le fait
Fonction Dérivable
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 14:30

ouais !!

pouvait se dire proprement en français et très simplement ...

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 14:43

D'accord si je comprends bien
f(x)<0 x[0;]
Et puis f(x)>0 x[;1]
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 16:29

faux ...

et confusion entre f et f' ...

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 17:24

D'accord
f(x)>0 x[0;]
Et puis f(x)<0 x[;1]
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 18:21

faux ...

réfléchis un peu et regarde ton tableau à 14h17 ...

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 20:36

Bonjour
Je ne trouve pas malheureusement où se trouve l'erreur
f(x)<0 x[0;]
Et puis f(x)<0 x[;1]
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 22-12-21 à 20:44

carpediem @ 21-12-2021 à 14:10

la fonction f' est strictement croissante donc si elle s'annule alors elle ne s'annule qu'une fois !!!

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 23-12-21 à 11:31

Bonjour
Je ne vois vraiment pas où est l'erreur désolé

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 24-12-21 à 15:52

Bonjour

Merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 28-12-21 à 21:13

Bonsoir

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 12:30

la fonction f' est strictement croissante et ne s'annule qu'une fois donc :

f' est négative sur l'intervalle [0, a] et positive sur l'intervalle [a, 1]

donc f est décroissante sur l'intervalle [0, a] et croissante sur l'intervalle [a, 1]

or f(0) = f(1) = 0 donc ...

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 13:12

D'accord merci beaucoup
Donc d'après le théorème de Rolle c0;1[ tel que f '(c)=0

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 13:49

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 18:55

Donc on peut rien dire sur f est ce que c'est positif ou pas Sur ]0;1[car il y a beaucoup d'ambiguïté
Merci beaucoup

Posté par
ty59847
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 19:51

Visiblement, tu n'as toujours pas suivi le tout premier conseil.
Dessine 5 ou 6 courbes, grossièrement.
Et pour chacune, tu dis si la courbe est compatible avec les données de l'exercice.
Ca prend 2 minutes.

Fais quelques dessins. Pour chaque forme, tu dis si la forme est compatible, et tu expliques pourquoi c'est compatible, ou pas.
Et tu postes une image avec tout ça ici.

Après ce travail qui prend 2 minutes, tu pourras commencer l'exercice sereinement.
Là, tu es dans le brouillard complet. Tu essaies de conduire une formule 1 en pleine nuit, sur une route de campagne pas éclairée, et sans phares.

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 21:41

D'accord
f(x)<0 x[0;]
Et puis f(x)<0 x[;1]
Et f()<0

Posté par
ty59847
re : Fonction Dérivable 29-12-21 à 22:33

Au 11ème jour, tu découvres que la fonction est négative sur tout l'intervalle [0,1].
... Résultat que tu avais déjà découvert il y a une semaine.

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 30-12-21 à 00:05

Bonsoir
Oui exactement le 22-12-21 à 20:36
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction Dérivable 30-12-21 à 09:49

ouais enfin ne pas écrire directement f est négative sur l'intervalle [0, 1] (car le maximum de f est 0 et il a lieu en 0 et en 1)

...

Posté par
Mathes1
re : Fonction Dérivable 30-12-21 à 10:52

Bonjour
donc f admet un maximum en x= 0 et en x=1
D'accord merci beaucoup et en laisse ceci
f(x)<0 x[0;]
Et puis f(x)<0 x[;1]
Et f()<0



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