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Fonction dérivée

Posté par
xxguizmo95xx 05-11-16 à 12:24

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :

Soit f l fonction définie sur *+ par f(x)=1+x(1+1/x)

1) Déterminer le minimum de f sur *+
2) En déduire le minimum de l'expression A(a;b)=a+b(1/a+1/b) lorsque a et b sont deux réels prenant n'importe quelle valeur sur *+. Quand est-il atteint

Pour la 1 j'ai commencé à calculer la dérivée :
u=1+x
u'=1
v=1+1/x
v'=2x

Donc
u'*v+u*v'
=1*1+1/x+1+x*2x
=1+1x+2x+x2
=1+1x+2x+x

Après j'ai voulu mettre au même dénominateur mais je pense que ce n'est pas ce qu'il faut faire.

Pour la 2 je voulais faire la même chose que sur la 1 mais en prenant du coup deux valeurs avec par exemple a=1 et b=2.

Merci d'avance.

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 12:26

J'ai oublié de préciser que c'est (1+x) et (a+b)

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 12:29

Bonjour

le texte est peu lisible (absence de parenthèses)

f(x)=(\sqrt{1+x})\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)

rappel   \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 12:58

Du coup je suis censé appliqué u'*v+u*v' ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 13:21

bien sûr vous avez toujours un produit
ce que je conteste est la dérivée de votre fonction u

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 14:01

A la fin je trouve 2+2x + x

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 14:17

je ne trouve pas du tout cela le texte étant celui de 12 :29

f'(x)=\dfrac{x\sqrt{x}-1}{2x\sqrt{x(x+1)}}

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 14:21

La dérivée de v c'est bien : 2x ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 14:26

\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

ou \left(x^{1/2}\right)'= \dfrac{1}{2}x^{1/2-1}

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 15:42

Et (21+x)*x=2(x)+x ?

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 15:42

Car je bloque à ca

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 15:48

d'où vient 2x\sqrt{1+x} ?

2x\sqrt{1+x}=2\sqrt{x^2(1+x)}

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 16:02

(1/2(1+x))*(1+(1/x))+(1+x)*2x

=(1/21+x)+(1/21+x)*1/x+1+x*2x

puis après je bloque car je pensais que 2(1+x)*x=2(x+x2)=2(x)+x

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 16:25

u(x)=\sqrt{1+x}\quad u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}

v(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\quad v'(x)=\dfrac{-1}{2x\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)+\dfrac{-1}{2x\sqrt{x}}\sqrt{1+x}

f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}-\dfrac{\sqrt{1+x}}{2x\sqrt{x}}

DC 2x\sqrt{x}\sqrt{1+x}

f'(x)=\dfrac{x(\sqrt{x}+1)-(1+x)}{2x\sqrt{x}\sqrt{1+x}}

d'où le résultat

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 16:43

D'accord j'ai compris, ensuite je voulais faire un tableau de signe mais j'ai du mal avec ce résultat, c'est assez complexe à résoudre

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 05-11-16 à 16:44

Déja le dénominateur est positif et du coup il faut que je résoudre l'expression dans le numérateur ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 05-11-16 à 16:53

l'avez-vous simplifié ?  oui il faudra le signe du numérateur

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 15:09

du coup je tombe sur xx-1

Et je dois résoudre cette équation cependant il y a deux inconnu x

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 15:12

Si je fait xx=1
et je remplace x par 1
donc x=1, c'est bon ?

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 16:39

personne ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 17:48

Bonsoir
résolution de x\sqrt{x}-1=0

x\sqrt{x}=1

on élève au carré

x^3=1 \quad x^3-1=0\quad (x-1)(x^2+x+1)=0

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:03

Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi vous avez élevé au carré

Sinon j'ai x=1 et pour (x2 +x+1)=0 je voulais calculais le discriminant mais il est négatif donc il n'y a pas de solution.
Alors j'ai un tableau sous la forme :

x-1+
f'(x)-|+

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:07

meilleur moyen de supprimer une racine carrée

f'(1)=0  c'est quoi la barre en dessous de 1 ?

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:13

c'est là où la fonction est égal à 0, ou elle touche l'abscisse

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:17

Pourquoi ne pas écrire tout simplement 0 ?

quel est donc le minimum  de f ?

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:17

Du coup mon tableau de signe est bon ? Si oui j'ai calculé f(1)=2

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:24

oui
f(1)=2\sqrt{2}

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:38

Et pour la 2 ? je voulais prendre a=1 et b=2 et calculer la dérivée mais je ne pense pas qu'il faut faire ça.

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:51

si a=1 le minimum est atteint pour b=1

que se passe-t-il si a\not=1

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 18:57

je n'ai pas compris la 1er ligne. SI a différent de 1 alors b différent de 1 ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:03

si a =1   on est dans le cas précédent  puisque l'on a  \sqrt{1+b}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:08

Donc je dois prendre par exemple a=2 et b=3 mais après ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:12

si a =1 le minimum de A(a,b)  est atteint pour b=1
si b =1 le minimum de A(a,b)  est atteint pour a=1
le minimum est A(1,1)

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:22

Je n'ai pas compris pourquoi quand a = 1, b=1 aussi

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:29

on vous a fait étudier la fonction qui à x associe \sqrt{1+x}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)

vous avez montré que cette fonction admettait un minimum pour x=1

si je fixe a =1 alors je suis bien dans le cas de la fonction précédente en remplaçant, si vous voulez, x par b

idem avec b=1

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:38

D'accord j'ai compris, du coup la réponse s'arrête à ce raisonnement ?

Posté par
heklare : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:48

on a dit  : « en déduire» donc !

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:50

Ok beaucoup pour votre réactivité et votre aide !

Posté par
xxguizmo95xxre : Fonction dérivée 06-11-16 à 19:50

merci*


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