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fonction dérivée avec exponentielle

Posté par
oreo27 14-09-16 à 16:19

Bonjour,
                  Je suis en Terminale S et j'ai un devoir maison à faire pour samedi. Mais je n'arrive pas à dériver une fonction avec exponentielle.
Ma fonction à dériver : f(x)= x+1+(x/(e^x))
Et cette fonction devrait donner f'(x) = (e^-x)*g(x)
et mon g(x) = 1-x+e^x

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 16:25

Bonjour

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

Que trouvez- vous pour la dérivée de \dfrac{x}{\text{e}^x}

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 16:50

Je trouve : f'(x)= (e^x-xe^x)/(e^x)²

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 16:51

Donc je pense f'(x)=-xe^x/e^x

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 16:58

respectez les notations  ce n'est pas f'

\dfrac{\text{e}^x-x\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}=\dfrac{\text{e}^x\left(1-x\right)}{(\text{e}^x)^2}

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 17:05

D'accord mais une fois que j'obtiens ça, je fais comment pour obtenir la fonction dérivée de f(x)=x+1+x/e^x ? Je ne sais pas quel calcul utiliser justement.
Merci.

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 17:08

dérivée d'une somme

f'(x)=1+\dfrac{1-x}{\text{e}^x}

réduction au même dénominateur

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 17:14

D'accord super merci. Mais pour cette fonction, je dois trouver f'(x)=e^-x*g(x)
Et mon g(x) = 1-x+e^x
Mais je sais pas qu'elle calcul utilisé justement.
Ma question est : On appelle f' la dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que, pour tout réel x, f'(x)=e^-x*g(x)

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 17:33

f'(x)=\dfrac{\text{e}^x+1-x}{\text{e}^x}

il faudrait mettre des parenthèses

\dfrac{1}{\text{e}^x}=\text{e}^{-x}

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 18:36

Je ne comprends plus rien, je suis perdue.

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 18:43

f'(x)=1+\dfrac{1-x}{\text{e}^x}

êtes-vous d'accord ?

réduction au même dénominateur

f'(x)=\dfrac{\text{e}^x+1-x}{\text{e}^x}

on peut remarquer que

\dfrac{1}{\text{e}^x}=\text{e}^{-x}

donc   f'(x)=\dfrac{\text{e}^x+1-x}{\text{e}^x}= \dfrac{1}{\text{e}^x}\left(\text{e}^x+1-x\right)=\text{e}^{-x} \left(\text{e}^{x}+1-x\right)

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 19:18

Donc si j'ai bien compris : f(x)=\frac{x}{e^x} = \frac{1\times e^x-x\times e^x}{(e^x)²} =\frac{e^x\times (1-x)}{(e^x)²} =1+\frac{1-x}{e^x} =\frac{e^x+1-x}{e^x} =\frac{1}{e^x}(e^x+1-x) =e^-^x(e^x+1-x)

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 19:25

donc ce que vous avez fait revient bien à  à f'(x)=e^-^x\times g(x). Comme prévu dans la question ?

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 19:31

il y a un peu de mélange  les premiers termes ne sont que la dérivée du quotient

donc reprenons

f=g+h donc f'=g'+h' avec g(x)=x+1 et h(x)= \dfrac{x}{\text{e}^x}

g'(x)=1  pas de problème   h'(x)=\dfrac{\text{e}^x-x\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}=\dfrac{\text{e}^x\left(1-x\right)}{(\text{e}^x)^2}=\dfrac{1-x}{\text{e}^x}

f'(x)=1+\dfrac{1-x}{\text{e}^x}

f'(x)=\dfrac{\text{e}^x+1-x}{\text{e}^x}

or \dfrac{1}{\text{e}^x}=\text{e}^{-x}

donc   f'(x)=\dfrac{\text{e}^x+1-x}{\text{e}^x}= \dfrac{1}{\text{e}^x}\left(\text{e}^x+1-x\right)=\text{e}^{-x} \left(\text{e}^{x}+1-x\right)

Posté par
oreo27re : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 19:33

Merci beaucoup, vous me sauvez ! Grâce à vous j'ai compris les dérivés.

Posté par
heklare : fonction dérivée avec exponentielle 14-09-16 à 19:39

de rien


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