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Fonction dérivée et suites
Bonjour j'ai un DM à rendre lundi et je suis complètement bloquée car je ne sais pas si ce que je fais est bon ou pas.
Voici mon sujet:
1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;2018] par f(x)= 1009x/(12x+1009).On admet que f est dérivable sur son ensemble de définition.
a) Déterminer la dérivée de f' de la fonction f.
b) En déduire les variations de la fonction f.
c) Démontrer que si x E [0;2018] alors f(x) E [0;2018].
2. On définit la suite (Un) pour tout n E N par U0=2018/9 et pour tout n E N Un+1 = 1009Un/(12Un+1009)
a) Calculer U1.
b) Sans aucun calcul, démontrer que U2, U3, U4 et U5 appartiennent à l'intervalle [0;2018].
c)Ecrire l'algorithme qui calcule Un tant que Un>0 et qui retourne le premier entier n tel que Un <=0.
d) Que pensez-vous de l'algoritme? Pourquoi ?
3. On définit la suite (Vn) pour tout n E N par Vn= (-9Un+2018)/Un
a) Démontrer que pour tout n E N Vn+1 - Vn = 24.
b)Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n.
c) En déduire que pour tout n E N, 0<Un<2018
Si vous pouvez m'aider svp et me dire si ce que j'ai fait est bon ou pas. Merci d'avance.
Pour 1a, je trouve comme dérivée 1018081/(12x +1009)^2
Pour la 1b et 1c J'ai rien compris
Pour La 2 a j'ai trouvé U1 = 1009/1021 mais je ne suis pas sûre
Pour la 2 b c et d Je ne comprends pas ce que je dois faire
Pour la 3a J'ai bien trouvé 24 mais après je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance pour votre aide
Comme au numérateur, il n'y a pas de x, je ne sais pas quoi faire. Au dénominateur , c'est un carré donc il est toujours positif. La dérivée est donc positive et la fonction est croissante sur l'intervalle [0;2018]. Mais je ne sais pas quoi mettre comme numéro dans le tableau à part 0 et 2018. J'ai trouvé -1009/12 quand je fais (12x+1009)^2=0. Est ce que je doit mettre -1009/12 puis 0 puis 2018 dans le tableau en disant que c'est positif à chaque fois? La fonction est donc croissante et en 2018, je trouve avec f(x) 2036162/27169. Est ce que c'est ça? Merci d'avance pour votre aide.
au numérateur tu as une constante positive donc il est positif, pas de souci !
donc
tu mets, 0 et aussi 2018 pour les x
tu mets que ta dérivée est toujours strictement positive
donc que ta fonction est strictement croissante (flèche qui "monte")
et tu calcules
f(0) et f(2018)
pour pouvoir terminer ton tableau
OK ?
J'ai compris pour le tableau, pour les nombres je trouve f(0) = 0 et f(2018) = 1009/1021 (j'ai simplifié par 2018) .
Pour la question 2a, j'ai trouvé U1 = U0 + 1 = 1009xU0/12U0+1009 = 1009x(2018/9)/12x2018/ç +1009= 1009x1/12x1+1009 =1009/1021, je pense que c'est bon, j'ai simplifié par 2018/9.
Après pour la 2b, je dis que comme le numérateur et le dénominateur se simplifient toujours, le résultat est toujours le même soit 1009/1021, ce qui est bien dans l'intervalle [0;2018]
Est-ce que c'est bon ?
Merci pour votre aide.
f(2018)=2018/25 < 2018 non ?
u1= 2018/33 sauf erreur
vérifie un peu tout ça....
tu es en term S (mets ton profil à jour),
je pense que pour la question b) tu dois utiliser ton tableau de variations et la question 1;c)
Pour f(2018), je fais 1009x2018/12x2018 + 1009 et je simplifie par 2018. Ce n'est pas possible de simplifier lorsqu'il y a les même chiffres au numérateur et au dénominateur ?
J'ai tout refait et j'ai bien trouvé comme vous. Merci beaucoup.
Par contre, je ne vois vraiment pas comment faire pour la question 2b: Démontrer sans aucun calcul que U2, U3, U4 et U5 appartiennent à l'intervalle [0;2018].
Merci d'avance pour votre aide
utilise ton tableau de variations
quand x est entre 0 et 2018, tu as montré que son image l'est aussi
donc si u0 est entre 0 et 2018, alors u1 son image par f l'est aussi
mais comme u1 est entre 0 et 2018, alors son image par f qui est u2 l'est aussi
etc....
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