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Fonction et probabilité

Posté par Profil Yaya1304 03-05-21 à 13:37

Bonjour j'ai un DM de mathématique à faire et j'ai du mal à répondre à quelques questions. Je n'ai pas encore finit le DM donc il y a quelques questions auxquelles je n'ai pas encore cherché.

1) Soit f la fonction définit sur [1;30] par f(x) = \frac{x}{x+100}

a) Démontrer  pour tout x de l'intervalle [1;30]. f(x) = 1 - \frac{100}{x+100}
Ici j'ai trouver que
f(x) = 1 - \frac{100}{x+100}
= \frac{x+100}{x+100} - \frac{100}{x+100}
= \frac{x+100-100}{x+100}
=\frac{x}{x+100}

b) Soit a et b deux nombres de l'intervalle [1;30] tels que : a<b.
Démontrer qu'alors f(a)<f(b)
Ici je suis perdu je sais que je dois utiliser les fonctions pour démontrer que la fonction est croissante.  Mais ensuite je ne sais pas si je dois utiliser les fonctions inverses (fractions) ou affines (car ça peut-être croissant)

Que peut-on déduire pour la fonction f? Non fait
c) Construire le tableau de variation de la fonction f sur [1;30]. Préciser f(25).
Pas encore fait

2) Une entreprise piscicole gère deux bassins.
Le bassin A contient 100 poissons dont exactement 20 gardons.
Le bassin b contient x gardons et 100 poissons autres que les gardon, x compris entre 1 et 30. On admet que, dans chaque bassin, tous les poissons ont la même probabilité d'être péchés.

a) Un poisson est pêché dans le bassin A. Quelle est la probabilité pA que ce soit un gardon?
Ici j'ai trouver sa: pA = \frac{100}{20} = 5

b) Un poisson est pêché dans le bassin B. Quelle est, en fonction de x, la probabilité pB que ce soit un gardon?
Ici j'ai du mal aussi. Car nous avons que x et pas de nombre entier. J'ai quelques idées.
pB = \frac{100+x}{x}

c) En utilisant la question 1)c, déterminer le nombre minimal de poissons à prévoir dans le bassin B pour que pB soit supérieur ou égale à pA? Pas encore fait

Merci de votre aide, et bonne journée et reprise des cours pour certain !

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 13:50

bonjour,


pour la 1b)    tu peux   montrer que  f(a) - f(b)  est négatif..
f(a) = ??
f(b)  = ??

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 13:56

pour la 2a)   ta réponse est fausse : une proba est comprise entre 0 et 1, elle ne peut pas etre égale à 5...
p(A) = nombre de gardons / nombre total de poissons    (et non l'inverse).

même remarque pour p(B).

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:02

D'accord merci donc pour la 2)a) j'obtient 0.2 et pour la b) je ne sais pas comment faire le calcul à cause des x.
Pour la question 1)b) vous me dites de montrer f(a)-f(b) est négatif mais je dois utiliser quelles fonction alors ? (affine, carré, inverse ???) Est ce que cette règle est marqué quelque part dans les cours des fonctions sur l'île des mathématique pour que je puisse mieux comprendre ?

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:09

2a)  p(A)=0,2   OK
p(B)  :     tu dois juste exprimer p(B) en gardant les x, pas le calculer.
nombre de gardons  : x
nombre de poissons : x+100

1b)
f(x)= 1   -   \frac{100}{x+100}

f(a) =  ??

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:13

2)b) j'ai pB = \frac{x}{x+100}

1)b) f(a) =  1 - \frac{100}{a+100}

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:15

oui, c'est ça.

on continue sur 1b)
f(a)  =    1 - \frac{100}{a+100}

f(b)  =  ??

f(a) - f(b)  = ???  
etc....

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:19

f(b) =  1 - \frac{100}{b+100}

f(a) - f(b) = \frac{100}{a+100} - \frac{100}{b+100}

c'est sa ? Aussi sa serait super si vous pourriez me trouver la leçon qui va avec ce qu'on fait parce que je comprend ce que je fais mais pas pourquoi ou d'où sa vient.

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:20

A non oups je me suis tromper
(1 - \frac{100}{b+100})  - (1 - \frac{100}{b+100})

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:20

dans le message précédant c'est petit a à la place de petit b sur la première division

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:27

tu fais une erreur de signe

f(a) - f(b) = - \frac{100}{a+100} + \frac{100}{b+100}

ou si tu préfères

f(a) - f(b) = \frac{100}{b+100}   -  \frac{100}{a+100}

mets tout sur même dénominateur, factorise pour dire si cette fraction est positive ou négative.

pourquoi on fait ça ?
tu as    a<b   avec a et b compris entre 1 et 30
tu veux montrer que   f(a)<f(b)    :   c'est à dire montrer que f(a)-f(b) < 0

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:32

Mais pourquoi f(a) est négatif et pour quelle raison on ne retrouve pas le 1 présent dans f(x) = 1 - \frac{100}{x+100}

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 14:37

f(a) - f(b) = ( 1  - \frac{100}{a+100} )  -   ( 1  -  \frac{100}{b+100} )

on enlève les parenthèses :

f(a) - f(b) = 1  - \frac{100}{a+100}   -    1  +   \frac{100}{b+100}  

f(a) - f(b) =    - \frac{100}{a+100} +   \frac{100}{b+100}  

f(a) - f(b) =     \frac{100}{b+100} -   \frac{100}{a+100}  

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 15:04

J'ai mieux compris merci!
Mais donc pour mettre au même dénominateur je peux mettre ab + 100 ??

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 15:16

Yaya1304, il faut que tu appliques les règles de calcul apprises en 4ème.
ab+100  n'est pas un dénominateur commun.
le dénominateur commun est  le produit des dénominateurs : (a+100)(b+100)

f(a) - f(b) =     \frac{100  *  (a+100)}{(b+100)(a+100)} -   \frac{100  *  (b+100)}{(a+100)(b+100)}  

f(a) - f(b)= ....   continue ! (développe, réduis, factorise).

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 15:17

f(a) - f(b)= ....   continue ! (développe, réduis, factorise   le numérateur.   Le dénominateur, laisse le comme il est).

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 16:09

tu ne réponds plus. Je te laisse.

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 16:56

Je viens juste de voir t'es message j'avais des problème de connexion. Pour le dénominateur j'avais écris sa sur ma feuille je me suis trompé tout à l'heure merci de me l'avoir rappelé.

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 17:13

Après avoir développer, réduit et factoriser je suis arrivé à cela tu en penses quoi ? \frac{100(a-b)}{100(a+b+100)+ab}

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 17:33

comme je te le disais, laisse le dénominateur sous la forme (a+100)(b+100)

le dénominateur : c'est un produit de deux nombres positifs ==> il est positif.
le numérateur :  quel est le signe de (a-b) ?  (puisque a<b, alors... )

déduis en que f(a)-f(b) est < 0

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 18:23

Le signe de (a-b) est négatif donc - puisque a<b
Mais comment je prouve que f(a) - f(b) < 0 maintenant ? Genre comment je dois rédiger s'il te plait

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 18:39

Yaya1304

f(a) - f(b) =     \frac{100}{b+100} -   \frac{100}{a+100}  

f(a)-f(b)  =  \frac{100(a-b)}{(a+100)(b+100}   :   tu viens de dire que c'est négatif
donc
f(a)-f(b) < 0   ==>     f(a) < f(b)   quand   a<b   (c'était la question 1b)

comment rédiger ? puisque  tu as compris, tu rédigeras bien.
ensuite, qu'en déduire pour la fonction ?
tu le sais, je crois.

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 18:42

Merci tu m'as beaucoup aidé!
Nous pouvons en déduire que la fonction est croissante.

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 18:43

J'aurai une question pour prouver ce que nous venons de faire nous avons pris pour base 1 - \frac{100}{x+100} mais aurait-il été possible de prendre \frac{x}{x+100} ??

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 19:08

Nous pouvons en déduire que la fonction est croissante
oui, car les images sont dans le même ordre que leurs antécédents.

avec \frac{x}{x+100}
f(a)-f(b)  =  \frac{a}{a+100} - \frac{b}{b+100}

f(a)-f(b)  =  \frac{a(b+100)}{(a+100)(b+100)} - \frac{b(a+100)}{(b+100)(a+100)}

f(a)-f(b)  =  \frac{a(b+100) - b(a+100)}{(b+100)(a+100)}

f(a)-f(b)  =  \frac{ab+100a - ab - 100b}{(b+100)(a+100)}

et on arrivait à la même chose.

à présent, sais tu finir l'exercice ?

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 19:32

Enfaite je ne vois pas pourquoi quand l'on trouve \frac{100a - 100b}{(a100)(b+100)} cela prouve que f(a)<f(b)

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 19:42

\frac{100a - 100b}{(a100)(b+100)}   est un quotient

si le numérateur et le dénominateur sont de même signe, le quotient est positif  (exemple 2/3  ou   -2/-3   :  positif),   sinon, le quotient est négatif  (exemple   -2/3   ou  2/-3  : négatif)
c'est la règle des signes que tu as vue en 4ème.

ici le dénominateur est toujours positif (produit de deux nombres positifs)
le numerateur =  100(a-b)   est négatif puisque   (a-b) est négatif.

dénominateur positif  et numerateur négatif ==>  le quotient est négatif.

sais tu terminer l'exercice (Q2) ?

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 19:51

J'ai fais mon  tableau de variation croissant et à f(25) j'ai trouver 1/5 ou0,2

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 19:56

est-ce que le fait que a et b de même signe alors ab>0 mais comme le numérateur est négatif ils ne sont pas de même signe et donc ab<0 ce qui nous dis que f(a)<f(b) ??

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:00

Yaya1304 @ 03-05-2021 à 19:56

est-ce que le fait que a et b de même signe alors ab>0 mais comme le numérateur est négatif ils ne sont pas de même signe et donc ab<0 ce qui nous dis que f(a)<f(b) ??

non, je ne comprends pas ce que tu écris..
je viens de te détailler le calcul à  19:08  : au numérateur, les ab disparaissent (on  a   ab - ab)..  
le numérateur devient   100(a-b)
c'est parce que    (a-b)  est négatif que le numerateur est négatif ..

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:09

A d'accord je comprend mieux et nous savons que a-b est négatif parce que au début il est dit que que a<b c'est sa ??

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:11

c'est ça   !    (stp, écris "c'est  ça"   avec un "c"   et non "c'est sa" ).  

tu sais finir la q2 ?

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:16

Le j'essaie de faire le 2)c). Je sais que comme pB = f(x) = x/x+100 et que donc pB est croissante. De plus on sait que f(25) = 0.2 donc à pA.

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:18

oui, donc dire quand pB > pA, c'est dire quand f(x) > 0,2
regarde ton tableau de variations : quand f(x) est elle > 0,2 ?

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:19

Après je dois trouver le nombre minimal de poissons pour que le bassin B pour que pB soit supérieur ou égale  à pA. Il faut donc 25 poissons car pB = f(x) = x/x+100 et si x=25 pB = 0,2 et est donc égale à pA

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:20

Mais donc  x< ou égale à 25 c'est sa ?

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:21

il faut au moins 25  gardons dans le bassin B  (soit   125 poissons dont 25 gardons).

Tu as tout compris ?

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:22

Oui j'ai compris merci beaoucp!!

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:24

J'ai un peu du mal en mathématique et l'année prochaine j'aimerai prendre la spécialité math et arrêter en terminal tu penses que avec du travail sa passe ? Genre je me débrouillerai c'est pas impossible non plus ??

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:24

Yaya1304 @ 03-05-2021 à 20:20

Mais donc  x< ou égale à 25 c'est sa ?


mais non ! ça n'est pas ça !   si  x < 25, f(x) < 0,2    et pB < pA...
toi tu veux
pB > pA   donc  f(x)> 0,2,   donc x > 25

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:28

Est ce que ça passe pour maths en 1ère ? Difficile de te dire après juste un devoir sur internet..
Mais pourquoi pas ? Ce sera peut-être  ardu, il faudra que tu t'accroches : il faut que tu travailles avec méthode, en apprenant ton cours et en l'appliquant méthodiquement. Et puis, tu pourras demander de l'aide sur le site  

Posté par Profil Yaya1304re : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:31

Oui tu as raison et désolé!!!! j'ai juste mal écris j'avais mis x> ou égale à 25. Petite faute de frappe hehe. Et oui je pense qu'avec du travail ardu je devrai y arriver. Parce que même si je ne suis pas un lumière en mathématique cette matière ouvre beaucoup de porte et reste très importante pour moi et rien qu'intellectuellement c'est un plus.

Posté par
Leilere : Fonction et probabilité 03-05-21 à 20:34

OK,
à une prochaine fois. Bonne soirée.


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