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fonction et tableau de variation (seconde)
Bonjour
Une entreprise artisanale a vendu 900 exemplaires d'un même produit au prix de 5 euros l'unité. Une étude de marché a montré que pour chaque augmentation de 1 euro du prix unitaire le nombre d'exemplaires vendus aurait diminué de 60.
1) calculer le montant total de la vente. Quel aurait été ce montant pour un prix unitaire de 6 euros ? pour un prix unitaire de 7 euros ?
2) On désigne par x le prix unitaire, x étant un réel supérieur ou égal à 5.
a) Démontrer que le nombre d'exemplaires vendus est alirs égal à 900 - 60(x - 5). Pourquoi faut-il limiter la suite de l'étude à la condition : x appartient [5;20] ?
b) Exprimer en fonction de x le montant total de la vente.
3) On définit la fonction f sur l'intervalle par f(x) = - 60 x2 + 1200x.
a) Vérifier l'égalité f(x) = - 60 (x-10) au carré + 6000.
b) Déterminer le sens de variation de f sur chacun des intervalles [5;10] et [10;20], puis dresser son tableau de variation. Pour quelle valeur de x le montant total de la vente est-il maximal ?
c) Dresser la table des valeurs de f(x) avec un pas égal à 1.
d) Construire la courbe représentative de f, les unités étant 1 carreau pour 1 euro en abscisse, et 1 carreau pour 400 euros en ordonnée.
e) Le coût total de la production a été de 5 000 euros. déterminer à l'aide du graphique la plus grande valeur entière de x pour laquelle l'entreprise peut faire un bénéfice.
1) Montant total de la vente : 900 x 5 = 4500 euros
Pour 6 euros : (900 - 60) x 6 = 5040 euros
Pour 7 euros : (900 - 120) x 7 = 5460 euros
2) a) J'ai fait un tableau en remplaçant x par les nombres allant de 5 à 20. Si x>20 il n y a plus d'exemplaires donc x appartient à [5;20]
b) Montant de la vente : 900 - 60(x - 5)x
3) a) f(x) = -60 (x - 10) au carré + 6000
f(x) = -60 (x2 - 20x + 100) + 6000
f(x) = -60 x2 + 1200x - 6000 + 6000
f(x) = -60 x2 + 1200x
b) Pouvez-vous m'aider avec le tableau de variation.
c) Est-ce que je dois remplacer x de f(x) par les nombres allant de 5 à 20
Pour le d et le e) après confirmation de c) je saurais faire.
Si vous pouviez m'aider, merci
Stella
2)
b)
Montant de la vente: [900 - 60(x - 5)].x
= (900 - 60x + 300).x = 1200x - 60x²
----------
3)
a)
-60(x-10)² + 6000
= -60(x²-20x+100)+6000
= -60x² + 1200x - 6000 + 6000
= -60x² + 1200x = f(x)
-> f(x) = -60(x-10)² + 6000
-----
b)
Sur l'intervalle [5;10]
Soit 5 <= a < b <= 10
f(a) = -60a²+1200a
f(b) = -60b²+1200b
f(b) - f(a) = -60b²+1200b - (-60a²+1200a)
f(b) - f(a) = -60b²+1200b +60a²-1200a
f(b) - f(a) = 60(a²-b²)-1200(a-b)
f(b) - f(a) = 60(a-b)(a+b)-1200(a-b)
f(b) - f(a) = 60(a-b)[(a+b)-20]
Comme a < 10 et b <= 10, on a (a+b) < 20 -> (a+b)-20 < 0
On a aussi (a-b) < 0
-> f(b) - f(a) > 0
f(b) > f(a) et donc f est croissante sur [5;10]
---
Sur l'intervalle [10;20]
Soit 10 <= a < b <= 20
f(b) - f(a) = 60(a-b)[(a+b)-20]
Comme a >= 10 et b > 10, on a (a+b) > 20 -> (a+b)-20 > 0
On a aussi (a-b) < 0
-> f(b) - f(a) < 0
f(b) < f(a) et donc f est décroissante sur [10;20]
---
On a donc:
f(b) > f(a) et donc f est croissante sur [5;10]
f(b) < f(a) et donc f est décroissante sur [10;20]
f(x) a donc un maximum pour x = 10.
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c)
f(5) = 4500
f(6) = 5040
f(7) = 5460
f(8) = 5760
f(9) = 5940
f(10) = 6000
f(11) = 5940
f(12) = 5760
...
f(19) =1140
f(20) = 0
-----
Sauf distraction. 
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