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Fonction et vecteur directeur

Posté par
oroch 21-09-07 à 16:28

Soit f la fonction définie par R* par f(x)=(1/x)-(1/x²) et C sa courbe représentative.
Soit l'abscisse d'un point M de C avec 0.On note d la tangente en M à C.
P a pour coordonnées (0;(2-3)/²).

Le but de cette question est de trouver l'ensemble des points P d'où on peut mener 2 tangentes en M1 et M2 à C et de démonterer que M1,M2,M3 sont alignés.

a)Soit P un point de l'axe des ordonnées de coordonnées (0;m).Démontrer que l'on peut mener 2 tangentes à C par P si et seulement si m²-2+3=0 a 2 solutions distinctes.

b) En déduire que l'ensemble des points P est une demi-droite telle que m]-;(1/3)[

c) On suppose que m]-;(1/3)[ et on note 1 et 2 les abscisses des points M1 et M2 de C tels que (PM1) et (PM2) soient des droites tangentes à C.

. Pourquoi 1+2=(2/m) et  12=(3/m) ?
. Démontrer que vecteur u(9;-m) est un vecteur directeur de (M1M2).
. Démontrer que vecteur v(91²;3-21) est un vecteur directeur de (M1M3).
. En déduire que les points M1,M2,M3 sont alignés.

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 21-09-07 à 16:39

Pouvez-vous m'aider SVP, ça serait sympa.

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 22-09-07 à 11:07

pour le a) J'ai calculer delta et ensuite j'ai trouvé qu'il y avait 2 solutions pour m < (1/3)

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 22-09-07 à 11:45

SVP

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 12:39

Bonjour,

Montre comment tu as démontré le "si et seulement si" du a), et on continue...

Nicolas

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 13:18

Ben en fait je sais pas si j'ai vraiment démontrer. J'ai trouver que le discriminant était égal à 4-12m. Et pour qu'il y ait 2 solutions j'ai dis que 4-12m > 0 donc m < (1/3)

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 13:26

Voila Nicolas

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 13:41

SVP

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 13:43

Je ne comprends pas le lien entre ce que tu écris et l'énoncé de a)

Tu écris "donc m < (1/3)". Mais l'énoncé de a) ne demande pas de montrer ceci. La question 1) demande de montrer une équivalence...

Montre-moi quelque chose de plus sérieux, et je t'aiderai

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 13:50

je ne comprend pas ce qu'on me demande,désolé

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 14:06

SVP

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 14:23

svp

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 14:35

a)

On peut mener deux tangentes à C passant par C

<=> il existe M_1\left|{x_1\\y_1=f(x_1)}\right. et M_2\left|{x_2\\y_2=f(x_2)}\right. deux points distincts de C tels que (PM1) et (PM2) soient tangentes à C

<=> il existe M_1\left|{x_1\\y_1=f(x_1)}\right. et M_2\left|{x_2\\y_2=f(x_2)}\right. deux points distincts de C tels que \frac{y_1-y_P}{x_1-x_P}=f'(x_1) et \frac{y_2-y_P}{x_2-x_P}=f'(x_2)
(on est sûr que les dénominateurs ne s'annulent pas car P, d'abscisse nulle, ne peut pas appartenir à C, donc être égal à M1 ou M2)

<=> il existe x_1\neq x_2 tels que \frac{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1^2}-m}{x_1}=-\frac{1}{x_1^2}+\frac{2}{x_1^3} et \frac{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_2^2}-m}{x_2}=-\frac{1}{x_2^2}+\frac{2}{x_2^3}

<=> l'équation \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}-\frac{m}{x}=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3} admet au moins deux solutions

<=> l'équation \frac{2}{x^2}-\frac{3}{x^3}-\frac{m}{x}=0 admet au moins deux solutions

(on multiplie les deux membres par x^3, nécessairement non nul)

<=> l'équation 2x-3-mx^2=0 admet au moins deux solutions

<=> l'équation mx^2-2x+3=0 admet au moins deux solutions

(on change le nom de l'inconnue)

<=> l'équation m\lambda^2-2\lambda+3=0 admet au moins deux solutions

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 14:39

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 14:39

Je t'en prie.

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:08

après pour le c)j'ai dit que1+2=(-b/a) donc 1+2=(2/m), et 12=(c/a) donc 12=(3/m).

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:12

Est-ce que c'est bon ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:13

C'est bien l'idée. Mais je n'ai pas vérifié le détail des calculs.

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:16

Ok merci nico.Par contre je n'arrive pas à démarrer la démonstration, t'aurai pas une piste. Merci d'avance pour ton aide.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:17

Je t'en prie.
Quelle démonstration ? Celle de la question suivante ?

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:21

Oui

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:25

celle du vecteur

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:29

Une méthode...

3$M_1\;\left|{\lambda_1\\f(\lambda_1)=\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_1^2}}\right. 3$M_2\;\left|{\lambda_2\\f(\lambda_2)=\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_2^2}}\right.

coefficient directeur de (M1M2)
= 3$\frac{\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_2^2}-\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_1^2}}{\lambda_2-\lambda_1}
= ...
(on utilise la question précédente)
= ...
= 3$\frac{-m}{9}

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:33

Ah ok merci. Et je suppose qu'on fair la même chose pour le vecteur ?

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:34

euh (qu'on fait)

Posté par
orochre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 15:46

Pour le la démonstration du vecteur directeur il faut poser 2-1=9 non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction et vecteur directeur 23-09-07 à 17:34

Si tu parles de ma démonstration de 15h29, je ne pose pas cela.
Les lambda1-lambda2 se simplifient et disparaissent...


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