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fonction exp

Posté par
judup
31-12-15 à 18:32

Bonjour,
voici un exercice que je n'arrive pas à faire :
soit f(x)=(ax^2+bx+c)*e^x
1) conjecturer une expression de f^n(x) par observation des résultats sur une feuille de tableur
2)démontrer cette conjecture

je ne vois même pas comment faire pour conjecturer une expression , puisque je ne peux pas avoir des résultats sur tableur en laissant "a" "b" et "c", et en remplacant ces lettres par des nombres, cela fausse les résultats...
merci de votre aide!

Posté par
Ayato
re : fonction exp 31-12-15 à 18:54

C'est l'énoncé complet ?

Posté par
lake
re : fonction exp 31-12-15 à 18:54

Bonjour,

Je suppose que f^{n} désigne la dérivée ni ème de f?

Posté par
judup
re : fonction exp 31-12-15 à 18:56

oui c'est l'énoncé complet!

aah oui merci je vais réessayer avec ça, je pensais que c'étais f^n au sens littéral!

Posté par
lake
re : fonction exp 31-12-15 à 18:59

En le faisant à la main, ça marche aussi:

f'(x)=[ax^2+(2a+b)x+b+c]e^x

f''(x)=[ax^2+(4a+b)x+2a+2b+c]e^x

f^{(3)}(x)=[ax^2+(6a+b)x+6a+3b+c]e^x

f^{(4)}(x)=[ax^2+(8a+b)x+12a+4b+c]e^x

Une conjecture:

f^{(n)}(x)=[ax^2+(2na+b)x+n(n-1)a+nb+c]e^x

Posté par
xCosinusx
re : fonction exp 01-01-16 à 15:30

Alors, as tu réussi ?

Posté par
judup
re : fonction exp 03-01-16 à 15:31

je n'arrive pas à prouver la conjecture

Posté par
lake
re : fonction exp 03-01-16 à 18:10

On fait une récurrence; l' initialisation est faite.

Hérédité:

On suppose donc que pour un certain n entier naturel fixé, on a:

f^{(n)}(x)=[ax^2+(2na+b)x+n(n-1)a+nb+c]e^x

Alors:

f^{(n+1)}(x)=[f^{(n)}(x)]'=[ax^2+(2na+b)x+n(n-1)a+nb+c+2ax+2na+b]e^x

f^{(n+1)}(x)=[ax^2+[2(n+1)a+b]x+n(n+1)a+(n+1)b+c]e^x

et l' hérédité est prouvée.



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