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fonction exponentielle

Posté par slipknot (invité) 02-11-04 à 14:49

salut à tous !!

J'ai un petit problème avec une equation que je n'arrive pas à résoudre sans utiliser la fonction logarithme népérien.

Démontrer que l'équation exp(x)=2 admet une solution unique dans et donner une valeur approché de à 10-3 près.
Ce réel est noté ln 2 et appelé logarithme népérien de 2.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Nightmarere : fonction exponentielle 02-11-04 à 15:00

Bonjour

Pour démontrer cela nous allons étudier la fonction exp(x)-2

posons f(x)=e^{x}-2

dérivation:
f'(x)=e^{x}

signe de la dérivée
e^{x} est strictement positif pour tout x réel

variation de f
On en déduit de cette étude que f est strictement croissante sur \mathbb{R}

existence et unicité de la solution
f est strictement croissante donc induit une bijection de \mathbb{R} sur \mathbb{R} . O est élément de \mathbb{R} , on en déduit qu'il existe une unique solution \alpha telle que e^{\alpha}-2=0 ou encore e^{\alpha}=2

valeur approchée
Avec la calculatrice on trouve que \alpha=0,693 à 10^{-3} prés

Posté par slipknot (invité)re : fonction exponentielle 02-11-04 à 15:16

merci pour ta réponse détaillée. J'ai bien compris le raisonnement mais je ne vois pas comment à partir de ex=2 tu trouve la valeur approchée de sans utilisé la fonction logarithme népérien.

merci pour le coup de main

Posté par slipknot (invité)re : fonction exponentielle 02-11-04 à 16:37

j'aimerais recevoir une réponse de votre part svp.

Posté par
Nightmarere : fonction exponentielle 02-11-04 à 17:13

Re bonjour

Je n'ai pas utilisé le logarithme népérien , si vous regardez votre calculette vous verez qu'entre 0,692 et 0,694 , la fonction s'annulle , on peut donc en déduire une approximation

Posté par slipknot (invité)re : fonction exponentielle 02-11-04 à 17:24

ah ouai j'y avait pas penser. Merci bokou pour ton aide!! @+


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