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fonction exponentielle
Bonjour je voudrais savoir comment démontré le théorème suivant.
Th: Soit f définie et dérivable sur I alors il existe une unique fonction tel que
f'=f
f(0)=1
Et autre chose comment démontré que pour tout x dans R et pour tout n dans Q
exp(nx)=exp(x)^n
Bonjour,
ton théorème est bizarre : tu commences par "soit f" ensuite "il existe..."
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=f et f(0)=1
Ensuite, pour démontrer l'existence, c'est les théorèmes sur les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1.
Au niveau terminale, on démontre juste l'unicité. Pour ça, on commence par montrer que si f est solution elle ne s'annule pas. Ensuite, on en prend deux, f et g, et on calcule la dérivée de f/g, pour montrer que f/g est constante.
exp(nx) : récurrence à partir de l'équation fonctionnelle, puis continuité.
Comment montre t'on que f ne s'annule pas? Je suis sur c'est bateau mais je ne vois pas le point de départ j'ai montré que f(x)f(-x) était constante mais je ne sais pas comment conclure ensuite. Merci
ben du coup si f s'annule en a, alors f(a)f(-a)=0 et comme f(x)f(-x) est constante, elle est identiquement nulle, donc pour tout x f(x)=0 ou f(-x)=0 en particulier pour x=0 ce qui contredit la condition initiale.
Sinon, oui j'ai mis en citation le théorème correct.
Bonjour à tous,
j'aurais juste rajouter, pour montrer que l'exponentielle ne s'annule pas:
si f s'annule en a, f est l'unique solution de y'=y et f(a)= 0, or cette unique solution, c'est la fonction nulle (facile à démontrer), donc f serait la fonction nulle.
Bonjour Orelo,
ta solution ne va pas puisque l'on utilise le fait qu'elle ne s'annule pas pour montrer l'unicité.
ah d'accord, en fait moi je suis parti du fait que l'existence et l'unicité sont données par le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire, et ensuite je démontre qu'elle ne s'annule pas pour la raison que j'ai donnée au dessus.
J'avais pas vu le problème comme ça, et j'ai surtout mal lu...
Ca permet de mettre uniquement l'existence de la fonction en pré requis de la leçon, est-ce qu'il vaut mieux que je change ?
que le problème de cauchy:
y'=a(t) y + b(t)
y(t0)=y0
avec a et b 2 fonctions continues sur R admet une unique solution sur R
Honnêtement, pour le capes je ne sais pas trop, mais si ça peut vous aider, le programme de TS demande de prouver l'unicité, et de subodorer l'existence par une construction point par point par la méthode d'Euler. Ceci étant d'autant plus intéressant qu'en physique ils font aussi la méthode d'Euler.
Ok, la méthode d'Euler, d'après mon bouquin de terminale S, c'est si f'=f existe, alors l'approximation affine au point a+h c'est :
f(a+h)=f(a)+f'(a)*h= f(a)*(1+h)
donc f(a+nh) = f(a)*(1+h)n
d'où avec a=0, f(a)=1 et h=1/n
f(1)=(1+1/n)n
donc en fait on montre juste que l'on peut plus ou moins créer cette fonction en réduisant le pas ?
On montre qu'on peut tracer une approximation de cette fonction et qu'intuitivement, en réduisant le pas on doit s'approcher de la fonction elle-même.
par contre ce n'est pas f(1) simplement qui nous intéresse. L'idée est d'utiliser un tableur.
voici un exemple d'énoncé d'épreuve pratique :
la méthode d'Euler est utilisée page 18 (sujet 21)
bonjour
donc si j'ai bien tout compris il suffit juste de citer le théorème de cauchy lipschitz pour réponte à la question de Karatetiger?
faut il savoir le démontrer?
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