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fonction exponentielle
bonjour,
j'ai dû mal à résoudre cet exercice et j'aurai besoin de votre aide :
l'objet de l'exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0,
[ par :
g(t)=(1-e^(-t))/t si t>0 et g(0)=1.
je bloque à la question 3b, mais voici les questions précédentes :
1.a. établir que g est continue en 0.
b.déterminer la limite de g en +.
2.a.Pour tout t
0,1+t
e^t.
c.en déduire le signe de g' et le sens de variation de g(on ne demande pas de construire la courbe représentative).
3.on se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet on introduit la fonction h définie sur [0,+[ par h(t)=1-t+(t²/2)-e^-t.
a.calculer h' et h'', ainsi que les valeurs de h(0) et de h'(0).
b.prouver que pour tout t0 :
0h(t)(t^3)/6. Pour cela, on établira d'abord que 0h''(t)t, et on en déduira un encadrement de h' puis de h.
c.déduire de la relation précédente un encadrement de (1-e^(-t)-t)/t².
Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)=-1/2.
Cette dernière question me pose également quelques problèmes.
Je vous remercie de votre aide précieuse.
Bonjour
hum... 
Je pense que tu as calculé les derivées.
h'(t) = -1+ t-e^-t
h''(t) = 1 - e^-t
e<sup>0</sup> = 1
e^-t est decroissante.
e^-t > 0 sur IR
Donc pour t > 0
0 < e^-t < 1
En integrant de 0 a t, on a :
Voila, en integrant de part et d'autre de 0 a t, tu devrais tomber sur ce que tu cherches. (integrer de 0 a t !!!).
Pour la derniere, et si je te faisais remarquer que l'encadrement que tu as eu dans la c est en fait :
(g(x)-1)/t
Ou encore, (g(x)-g(0))/t ?
Ca va t'aider je crois.
Ghostux
oui mais mon problème c'est que je n'ai pas encore fait les intégrales!
salut
h(t)=1-t+(t^2/2)-e^(-t)
h'(t)=-1+t+e^(-t)
h''(t)=1-e^(-t)
h''(t)>=0 pour tout t dans R+
reste h''(t)=<t
tu consideres l(t)=t-h''(t) sur R+.
tu fais son tableau de variation.(je te laisse faire).
donc tu arrives a 0=<h''(t)=<t
en integrant deux fois, tu obtiens le resultat cherché.
(remarque 0=<h'(t)=<t^2/2
c.0=<h(t)=<t^3/6, t dans R+
donc 0=<1-t+(t^2/2)-e^(-t)=<t^3/6
donc -t^2/2=<1-t-e^(-t)=<t^3/6-t^2/2
si t different de 0, -1/2=<(1-e^(-t)-t)/t²=<t/6-1/2
par theoreme des 2 gendarmes (je me demande si on continue d'appeler ce theoreme comme ca ?)
on a lim (1-e^(-t)-t)/t²=-1/2 quand t->0.
or (1-e^(-t)-t)/t²=[g(t)-g(0)]/t
donc lim [g(t)-g(0)]/t=-1/2 quand t tend vers 0.
donc g est derivable en 0 et g'(0)=-1/2.
a+
oui on appelle toujours ce théorème le théorème des gendarmes!Merci pour votre autant en arithmétique qu'en analyse.
Oula ... si tu as pas vu les integrales ...
Bon alors suppose que ce qu'on te demande est vrai et tu derives deux fois, et tu vas tomber sur quelque chose de vrai, et deduis-en que ce que tu avais initialement est donc vrai, selon le modele suivant.
On suppose H vrai, et on le change un peu (ici on le derive des deux cotés, deux fois) et si on tombe sur quelque chose de évident ( encadrement de h'' par exemple, que tu peux facilement justifier comme ca :
e^0 = 1
e^-t est decroissante.
e^-t > 0 sur IR
Donc pour t > 0
0 < e^-t < 1
)
Voila, je pense que ca doit marcher comme ca, a moins que quelqu'un ait une autre idée.
Ghostux
bonjour,
je vous écris à propos d'un sujet que je vous avais proposé car je me suis rendue compte que ma réponse à 1.a., n'allait pas. J'ai prouvé la dérivabilité de g en 0 mais pas la continuité comment dois-je faire?
Je me suis aussi rendue compte que je m'étais trompée à la question 2.b.
Merci de votre aide
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