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fonction exponentielle

Posté par Sinik (invité) 22-02-05 à 12:01

bonjour' j'ai un petit problème pour résoudre ces deux questions de mon DM.
Je vous remercie par avance de votre aide.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-1 ; + 00[ par :
            x    
          e
f(x)= -----------
        (1+x)²

On désigne par C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

1) Calculer la limite de f lorsque x tend vers  +00, puis sa limite lorsque x tends vers -1.
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?


2) Calculer f '(x) et montrer que son signe est celui de : (x - 1) / (x + 1)

Posté par
Nightmarere : fonction exponentielle 22-02-05 à 12:26

Bonjour

1) f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+2x+1}
soit
f(x)=\frac{e^{x}}{x}\times\frac{1}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}
or
\lim_{x\to +\infty} 1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1
et :
\lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty ( limite usuelle )
On en déduit :
\lim_{+\infty} f=+\infty

\lim_{x\to -1} \frac{1}{(1+x)^{2}}=+\infty
et
\lim_{x\to -1} e^{x}=e^{-1}>0
donc
\lim_{-1} f=+\infty

f admet donc une asymptote verticale d'équation x=-1 en +\infty

2)f'(x)=\frac{e^{x}(1+x)^{2}-2(1+x)e^{x}}{(1+x)^{4}}
ie
f'(x)=\frac{(1+x)(e^{x}(1+x)-2e^{x})}{(1+x)^{4}}
soit
f'(x)=\frac{e^{x}(1+x-2)}{(1+x)^{3}
=>
f'(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{(1+x)(1+x)^{2}}

Or : \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} est toujours strictement positif . Donc seul le signe de \frac{x-1}{1+x} importe


Jord

Posté par slybar (invité)re : fonction exponentielle 22-02-05 à 12:36

Bonjour,

\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2}=+\infty  
croissance comparée : \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty avec n\in\mathbb{N}

\lim_{x\to -1} f(x)

\lim_{x\to -1} e^x=e^{-1}
\lim_{x\to -1} \frac{1}{(1+x)^2}=+\infty
donc \lim_{x\to -1} f(x)=+\infty

2) f(x)=\frac{e^x}{(1+x)^2}
(\frac{u}{v})^'=\frac{u^'v-uv^'}{v^2}

u=e^x\rightarrow u^'=e^x
v=(1+x)^2\rightarrow v^'=2(1+x)

f^'(x)=\frac{e^x(1+x)-2e^x(1+x)}{(1+x)^4}
f^'(x)=e^x\frac{1+x-2}{(1+x)^3}=e^x\frac{x-1}{(1+x)^3}

or \forallx e^x>0
donc le signe de f'(x) dépend de \frac{x-1}{(1+x)^3}

Posté par Sinik (invité)exercice calcul intégral 24-02-05 à 17:08

Bonjour, je n'arrive pas à répondre aux question 1)c. et 2) Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment sympa.
merci d'avance.

1)   Soit g la fonction définie sur  ]-1 ; +00[ par :
                          x  
                        e
              g(x) =-------------                    
                     ( 1 + x )

a. Etudier le sens de variation de g sur [1 ; 2].
b. Montrer que pour tout x appartenant à [1 ; 2], on a :  1 < g(x) < 2,5.
c. En déduire un encadrement de :
                                      
      A1=intégrale sur [1;2] de g(x)dx

2)  Soit A2 , l'aire en unités d'aires, du domaine délimité par les droites d'équations respectives x=1 et x=2 , la courbe C et l'axe des abscisses.
A l'aide d'une intégration par parties, exprimer A2   en fonction de A1 et en déduire un encadrement de  A2.


*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmasterre : fonction exponentielle 24-02-05 à 17:10


attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



D'autant plus que tu as déjà eu de l'aide

Posté par
Nightmarere : j ai besoin de vous svp! 24-02-05 à 17:12

Bonjour

Pour la 1c) :
g est dérivable sur [1;2] et pour tout x de [1;2] , 1<g(x)<2,5
D'aprés le théoréme des accroissements finis :
1<\frac{1}{2-1}\Bigint_{1}^{2} g(x)dx<2,5
c'est à dire
1<\Bigint_{1}^{2} g(x)dx)<2,5


jord

*** message déplacé ***

Posté par Sinik (invité)Grand besoin d aide pour les intégrales 01-03-05 à 18:00

Bonjour je suis perdu dans cet exercice :  

- Il faut trouver un encadrement de l'intégrale de g(x) dx notée A1    => j'ai mis que l'intégrale était comprise entre 1 et 2 ;

- Il faut ensuite (à l'aide d'une intégration par partie) exprimer A2 (étant l'aire comprise entre les droites x=1 , x=2 et la courbe C) en fonction de A1 et en déduire un encadrement de A2


Soit : f(x)= (exp x) / (1 + x)²
On désigne par C sa courbe représentative .


Soit : g(x) = (exp x) / (1 + x)
A1= intégrale sur [ 1; 2 ] de g(x) dx



Pouvez vous me détailler chaque étape svpppp
merci d'avance !!

*** message déplacé ***

Posté par dolphie (invité)re : 01-03-05 à 18:09

- encadrement de \int_1^2g(t)dt
g est croissante sur [1,2], g(1)=e/2 et g(2)=e²/3
donc on peut encadrer g par deux recatngles:
de longueur 1 et de largeur g(1) et g(2) respectivement.
Alors g(1) < \int_1^2g(t)dt < g(2)
soit: \frac{e}{2} < \int_1^2g(t)dt < \frac{e^2}{3}
ou encore:1,3 < \int_1^2g(t)dt < 2,5






*** message déplacé ***


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