1)
Q(x)=(1+(1/x))e^(1/x)+1

Q'(x) = (-1/x²).e^(1/x) - ((1+(1/x))/x²) .e^(1/x)
Q'(x) = ((-1-1-(1/x))/x²).e^(1/x)
Q'(x) = ((-2x-1)/x³).e^(1/x)
Q'(x) = -((2x+1)/x³).e^(1/x)
--
Q'(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -0,5[ -> Q(x) décroissante.
Q'(x) = 0 pour x = -0,5
Q'(x) > 0 pour x dans ]-0,5 ; 0[ -> Q(x) croissante.
Q'(x) n'existe pas en x = 0
Q'(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> Q(x) décroissante.
--
Il y a un min de Q(x) pour x = -0,5, ce min vauf Q(-0,5) = 0,86... >
0
lim(x->0-) Q(x) = 1 car lim(x->0-) [e^(1/x)/x] = 0
Donc G(x) > 0 pour x dans [-oo ; 0[
lim(x->oo) G(x) = 2.
Donc G(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[

G(x) > 0 pour x dans R*
-----
2)
f(x)=x/(1+e^(1/x))            
lim(x->0-) f(x) = 0
lim(x->0+) f(x) = 0

(f(x) - f(0))/x = 1/(1+e^(1/x))
lim(x-> 0-) [(f(x) - f(0))/x] = lim(x-> 0-) [1/(1+e^(1/x))] = 1
lim(x-> 0+) [(f(x) - f(0))/x] = lim(x-> 0+) [1/(1+e^(1/x))] = 0

f(x) n'a pas la même dérivée lorsque x-> 0  vers la gauche ou vers
la droite.
f(x) n'est pas dérivable en 0.
-----
3)
Question 3 incomplète.

Enfin, on peut deviner qu'il faut montrer que la droite d'equation
  y=(1/2)x-(1/4) est asymptote oblique à la courbe représentant f(x).

k = lim(x-> +/-oo) [f(x) / x] =lim(x-> +/-oo) [1/(1+e^(1/x))] = 1/2
  
b = lim(x-> +/-oo) [f(x) - kx] = lim(x-> +/-oo) [x/(1+e^(1/x)) -(1/2)x]
=lim(x-> +/-oo)[x(1-e^(1/x))/(2(1+e^(1/x))]
Indétermination qu'il faut lever.
Par une méthode qui d'après certains n'a pas été apprise en
terminale (et donc que je ne développe pas), on trouve:
b = -1/4

-> la droite d'équation:  y = (1/2)x - (1/4) est asymptote oblique
à la courbe représentant f(x) aussi bien du coté des x négatifs que
du coté des x positifs.

Une autre manière est de poser, comme suggéré t = 1/x
...
-----
Sauf distraction.