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Fonction exponentielle
Bonjour, mon professeur de mathématiques nous a demandé de faire plusieurs exercices pendant les vacances et je bloque sur l'un d'entre eux. Tout aide sera la bienvenue.
Voici le sujet :
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Une fonction f, définie et dérivable sur R, est représentée par une courbe C qui passe par le point A(0;1). De plus en tout point de C d'abscisse a réel, la tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a-1.
Démontrer que la fonction f est la fonction exponentielle.
Merci d'avance!
salut
l'équation de C est y = f(x)
l'équation de sa tangente au point M d'abscisse m est .... ?
cette tangente passe par le point de coordonnée (m - 1, 0) <=> .... ?
Exploite l'information "en tout point de C d'abscisse a réel, la tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a-1"
Prend l'équation générale d'une tangente en un point d'abscisse a , trouve son intersection avec ox et écris que ça vaut toujours a-1.
L'équation de la tangente à C en 0 est y=x+1
non, tu n'en sais strictement rien vu que tu ne connais pas la fonction.
si M d'abscisse m est un point de la courbe C d'équation y = f(x) alors son ordonnée est f(m) ...
et l'équation de la tangente à C en M est y = f(m) + f'(m)(x - m) ...
Bonjour, j'étais malade donc je n'ai pas pu m'y remettre ces derniers jours..
J'ai fais l'équation générale d'une tangente en un point d'abscisse a : y=f'(a)(x-a)+f(a) et l'équation de l'axe des abscisses : y=0.
Pour trouver l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisse Ox on fait
f'(a)(x-a)+f(a)=0.
Jusque là ça va, le problème c'est que l'on ne connais pas la formule de la fonction et que je ne vois pas ce que l'on peut remplacer dans cette équation..
la tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a-1 donc x = a-1
ce qui donne -f'(a)+f(a) = 0
maintenant, avec cette équation différentielle, tu va pouvoir trouver toutes les fonctions f(x) qui satisfont à la condition.
Je viens donc de faire le calcule en remplaçant x par a-1 ce qui donne bien -f'(a)+f(a)=0 donc f(a)=f'(a). Or la seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa dérivée est la fonction exponentielle.
C'est juste ?
Oui c'est ça.
mais il vaut mieux résoudre l'équation différentielle :
f'(a)/f((a) = 1 
on intègre ln |f(a)| = a + C
f(a) = kea
on en conclut que les fonctions f(x) = kex sont les seules fonctions qui satisfont la condition.
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