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Fonction exponentielle

Posté par
Aria333
16-11-16 à 15:44

Bonjour à tous! J'ai un DM à faire pour lundi et j'ai beau relire le sujet je ne comprends rien à la première question. J'ai tenté de faire le reste mais je ne suis pas sûre de moi... Pourriez vous m'aider? J'ai un deuxième exercice que je vais poster à part sur lequel je rame aussi.

Exercice 1:
Suite au réchauffement climatique, on a constaté que la quantité d'eau d'un lac de montagne diminue chaque année. La hauteur d'eau, en mètres, de ce lac, peut être modélisée par la fonction f définie par: f(t) = 27e^-0.02√t
t est exprimé en mois, (t=0 janvier 2016)

1) Quelle sera la hauteur du lac à terme? (pas compris la question)
2) Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe. (pas réussi)
3) Dresser le tableau de variation de f. (pas réussi)

J'ai déjà fait de nombreuses tentatives, mais vaines...
Merci d'avance!

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 15:50

salut Mlle Stark    

alors
1) pas compris non plus ça veut rien dire , peut être qu'ils veulent la hauteur initiale du lac en janvier 2016?

2)f est de la forme eu   avec u= ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 15:55

Bonjour

je pense plutôt à la limite en +\infty

f(t)=27\text{e}^{-0.02\sqrt{t}}

\left(\text{e}^u\right)'=u'\text{e}^u

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 15:57

moui effectivement c'est peut être que va devenir la hauteur d'eau donc vers quoi tend f en +inf
c'est mieux ça .....

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:03

D'accord merci beaucoup! Je vais essayer de faire comme ça sinon si il y a d'autres propositions je verrai =/
Mlle Stark?

ciocciu @ 16-11-2016 à 15:50

salut Mlle Stark    

alors
1) pas compris non plus ça veut rien dire , peut être qu'ils veulent la hauteur initiale du lac en janvier 2016?

2)f est de la forme eu   avec u= ?

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:06

Aria333 @ 16-11-2016 à 16:03

D'accord merci beaucoup! Je vais essayer de faire comme ça sinon si il y a d'autres propositions je verrai =/
Mlle Stark?

tu regardes pas Game of thrones ?    une héroïne est une jeune ado qui s'appelle Aria

tiens nous au courant pour l'exo

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:17

ciocciu Non je ne suis pas trop séries ^^ Je suis une métalleuse alors importent plus pour moi la guitare, la bière et le métal

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:19

ah il en faut aussi     

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:22

Pour la question 2 je trouve 27(\frac{1}{2\sqrt{t}} (27e^{-0.02\sqrt{t}})
je doute un peu... Comment faire un tableau de variations avec cette chose?

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:24

euh il manquerait pas le 0.02   qq part ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:27

vous avez oublié le -0,02

la chose garde un signe constant  donc peu gênant

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:43

Correction 27\left(\frac{1}{2\sqrt{t}} -0.02 \right) \left(27e^{-0.02\sqrt{t}} \right)
Je crois...

La chose Bien je vois pas du tout comment en faire un tableau de variations... J'ai tenté:
27\left(\frac{1}{2\sqrt{t}} \right) \geq 0
(27e^{-0.02\sqrt{t}}) \geq 0
donc la fonction est croissante...?

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:45

je vous laisse avec notre métalleuse   les amis

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:49

la dérivée est -\dfrac{0,27\text{e}^{-0,02\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}

vous n'avez pas lu  ma dernière remarque ?

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 16:56

hekla Merci, et si je l'ai lu mais j'ai quelque peu du mal à comprendre... une fonction exponentielle est croissante forcément...
Comment avez vous fait la dérivée?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 17:08

f=27\text{e}^{u} donc f'=27u'\text{e}^u


u(t)=-0,02\sqrt{t} \quad u'(t)= -0,02\times \dfrac{1}{2\sqrt{t}}=-\dfrac{0,01}{\sqrt{t}}

f'(t)=27\times \left(-\dfrac{0,01}{\sqrt{t}}\right)\times \text{e}^{-0,02\sqrt{t}}

f'(t)=-\dfrac{0,27\text{e}^{-0,02\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}

or \dfrac{0,27\text{e}^{-0,02\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}>0  pour tout t

donc pour tout t\   f'(t)\dots 0  et f est \dots sur l'intervalle

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 17:22

Ah merci hekla !

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 17:24

vous n'avez pas complété ma dernière ligne !

de rien

Posté par
Aria333
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 17:56

pour tout t f'(t) \geq 0  et f est croissante sur l'intervalle R?

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 18:02

attention f'(t) = -  blabla
y'a un - devant

Posté par
ciocciu
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 18:02

si f était croissante ça voudrait dire que chaque année f est plus grand donc le lac se remplit    

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-11-16 à 18:05

f'(t)={\Large\textcolor{red}{-}}\dfrac{0,27\text{e}^{-0,02\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}

donc pour tout t\   f'(t)< 0  et f est  décroissante  sur l'intervalle [0~;~+\infty[


la fonction ne peut pas être croissante : vous videz un lac,  vous ne le remplissez pas  et ce ne peut être que sur les réels positifs
t étant le temps



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