Bonjour
tu pourrais étudier une fonction
f(x)= 2x-e^(2x )
et ensuite couper la courbe avec les droites d'équations y=k pour k réel

voilà une piste possible

le plus simple est de l'écrire 2x-e^2x = k
d'étudier la fonction f(x) = 2x-e^2x
puis une fois que tu as les variations tu la coupes avec une droite horizontales y = k et du discutes suivant les valeurs de k si ça coupe en 2 points, un point ou pas du tout.