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Fonction exponentielle
Bonjour, merci à ceux qui m'aideront.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O, on considère le point E de coordonnées (2;-1) et a courbe C représentative de la fonction exponentielle.
On admet que la distance EM admet un minimum quand M décrit C. Ce minimum est appelé distance du point E à la courbe C.
Le but de cet exercice est de trouver cet distance minimale.
1. Soit x un réel quelconque et M le point d'abcisse x de la courbe C. Montrer que: EM^2= x^2-4x+5+e^2x+2e^x
Pour la suite , on appellera f la fonction définie sur R par: f(x)= x^2-4x+5+e^2x+2e^x
2.a) Dresser le tableau de variation de la fonction dérivée f'
b) Calculer f'(0) et déterminer le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
c) En déduire que la fonction f admet un minimum que l'on précisera.
d) Pour quel point de C la distance EM est-elle donc minimale?
e) Montrer qu'en ce point M trouvé , la tangente à la courbe C est perpendiculaire à la droite (EM)
ensuite ,tu dérives f' pour étudier la fonction f' ainsi tu auras le tableau de variations de f'
indique tes réponses
Tu as la forme ku où k = 2 et u(x) = ex
Et de plus pour la fonction exponentielle f = f'
Donc la dérivée de 2ex est 2ex
solution à titre indicatif
1)
M(x;ex
E (2;-1)
2)
f définie sur 
signe de f"
4e^{2x}+2e^x>0
f"(x)>4
d'où f' est croissante sur
f'(0)=0
f'≥0 et f est croissante sur [smb]R[sub]+
f'≤0 si x≤0
d'où f admet un minimun en 0 puisque sa dérivée s'annule et change de signe en 0
2b)minimum de f
f(0)=5+2+1=8=EM2
la distance minimale √8 est lorsque M a pour coordonnées(0,0) c'est à dire le point O , origine du repère
la courbe C a pour équation y=e^x
g(x)=e^x g'(0)=e^0=1 g(1)=1
équation de la tangente en (0,1) y=x+1 ,coefficient directeur a=1
équation de (EM) quand M(0,0)
y=-x+1 coefficient directeur a' =-1
aa'=-1 donc les droites sont perpendiculaires
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