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Fonction exponentielle

Posté par
Drenla
13-02-18 à 17:17

Bonjours a tous,  j'ai un exercice sur les fonction exponentielle sauf que je bloque sur quasiment toutes les questions. Si quelqu'un pourrait m'aider (me dire la démarche a suivre) sa serait vraiment cool.

Sujet :
Partie 1:
g est la fonction définie sur R par : g(x) = exp(x) +1 - x*exp(x)
1 Etudier les variations de la fonction g (fait) et tracer son tableau de variations complet (il me manque la limite en + )

2 Prouver que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution réelle a (fait), et que 1<a<2 (je sais pas comment faire)
Justifier que a = 1 +1/exp(a) (je sais pas non plus)

3. Déterminer le tableau des signes de g(x) sur R (il me faut la Q2)

Partie 2:
f est la fonction  définie par : f(x) = 2x/( exp(x) +1 )
1 Determiner l'ensemble de definition de Df de f (faut juste prouver que ( exp(x)+1 )0 je crois)

2 Determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de definition. (Il me manque celle en +)

3 Justifier que f est dérivable sur R, puis calculer f'(x) (Je sais plus comment justifier mais je trouve f'(x)=(2exp(x) (1+x) +2)/(exp(x)+1)² )

4 Montrer que f'(x) a le même signe que g(x) ( Je sais pas trop comment faire)

5 En déduire le tableau de variation complet de la fonction f (déroule des autres questions)

6 On note Cf la courbe représentative de f dans un repére orthogonal (O, i , j)
A) montrer que f admet un maximum en a, et prouver que la valeur de ce maximum est égale a 2/exp(a), puis préciser l'équation de la tangente horizontale D à la courbe Cf (aucune idée de comment faire)

B) Montrer que Cf admet une asymptote horizontale D' que l'on précisera (Je crois que c'est avec les limites en )  

7 Prouver que tout réel de ]0 ; 2/exp(a) [ admet exactement deux antécédents dans ]0: + ( il faut le tableau de variations pour appliqué le TVI je crois)

Voila je sais que c'est long est que je n'ai pas réussi grand chose mais j'aurais vraiment  besoin d'un aimable personne pour m'aider.
Merci d'avance à ceux/celles qui prendrons le temps de m'aider

Posté par
carita
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 17:56

bonjour

pour le début :
1) limite en +oo : factorise ex

2) 1<a<2  --- montre que g(1)*g(2) < 0
écris sur ta feuille l'égalité g(a)=0, puis isole a = ...

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 17:56

J'ai réussi toute la partie 1, de l'aide pour la partie 2 serait la bienvenue

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:01

Bonsoir

partie 1 1 mettre x\text{e}^x en facteur

vérifier que g(1)\leqslant 0\leqslant g(2)

g(a)=0 donc \text{e}^a+1-a\text{e}^a=0

partie 2  la somme de deux réels strictement positifs est strictementpositive

donc n'est pas nulle

en +\infty voir cours croissance comparée

revoir la dérivée

je trouve f'(x)=\dfrac{2g(x)}{(\text{e}^x+1)^2}

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:12

Bonsoir hekla

Pour la dérivée c'est bon j'ai trouver mon erreur (mauvaise factorisation) en revanche pour la limite en +, même aprés avoir chercher dans le cours croissance comparée je ne comprend toujours pas comment faire pouvez vous m'aiguiller ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:15

vous avez    \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty

que peut-on dire de l'inverse ?

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:18

L'inverse tend vers 0 quand x tend vers +

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:21

n'est-ce pas ce que vous avez ?

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:23

Ah oui en effet ^^

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:29

où en êtes vous maintenant ?

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:31

Je suis bloqué à la question 6a)

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:38

vous avez étudié les variations de f  vous savez que la dérivée s'annule en a en changeant de signe  donc elle admet en ce point un extremum (ici maximum)

calculez f(a)  en n'oubliant pas la valeur de a trouvée supra

6 B oui
7 oui

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 18:50

J'ai compris ce qu'il faut faire (du moins je crois ) sauf que je n'arrive pas à faire le calcul de f(a)
Je trouve \frac{2*(1+\frac{1}{exp(a)})}{exp(1+\frac{1}{exp(a)})+1}

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 19:01

il ne faut pas remplacer tous les a  vous voyez bien qu'au résultat on a \text{e}^a


f(a)=\dfrac{2a}{\text{e}^a+1}=\dfrac{2\left(1+ \dfrac{1}{\text{e}^a}\right)}{\text{e}^a+1}=\dfrac{2(\text{e}^a+1)}{\text{e}^a(\text{e}^a+1)}

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 19:07

Ah oui effectivement sa marche beaucoup mieux comme ça ^^

Posté par
Drenla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 19:18

Du coup c'est bon j'ai tous fini, merci énormément pour votre aide sans vous j'y serais jamais arrivé je crois.

Je vous souhaite une agréable soirée

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 13-02-18 à 20:01

il ne faut pas être si défaitiste  vous auriez pu y arriver  peut-être en prenant davantage de temps
bonne soirée
de rien

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