1) Soit un point M(x0,y0)
la courbe fm passe par M ssi:
yo=fm(xo)
soit:
y0=me(2x0)-4x0²
cela donne m=(1/2)ln(yo+4x0²) qui est unique (PS: il faut au passge y0+4x0²>0
sinon il n'exsite pas de courbe passant par ce point M)

la seule courbe passant par M(x0,yo) est celle obtenue pour m=(1/2)ln(yo+4xo²)

La fonction a pour equation y=e(2x)-4x²
le point d'abcisse "a" a pour ordonnée sur une fonction fm:
fm(a)=me(2a)-4a²
et la on fait varier m !!(on veut comparer les points d'abcisse
"a" sur les différentes fonctions fm, quand m varie !
comme e(2a)>0 c'est une variation linéaire croissante

2)a)bon
b) bon
g(x)=4xe(-2x)
g'(x)=4e(-2x)+4x(-2)e(-2x)=e(-2x)[4-8x]=4e(-2x)(1-2x)
tu etudie les variations:
croit sur [-inf,1/2]
decroit sur [1/2,+inf]
lim g(x)(en -inf)=-inf
lim g(x) (en +inf)=0
g(1/2)=2/e
2/e est donc un maximum

on veut maintenant le signe de m-g(x) pour etudier f'(x)
si m>2/e m-g(x) est toujours positif
Si m<0 m-g(x) change de signe 1 fois.
pour trouver le x correspondant faut resoudre g(x)=m
si m entre 0 et 1/2  ca change de signe 2 fois
idem tu trouves les x correspondant en resolvant g(x)=m
PS: resoudre g(x)=m c'est dur, mais en fait t'as pas a le faire,
faut surtout connaitre le nombre de solution, ca  ca apparait sur
ton dessin (interscetion de g(x) et d'une droite horizontale
y=m)

alors: m>2/e donne f' >1 donc f croit
m<0 donne f'>0 puis f'>0
m entre 0 et 2/e donne f'>0 puis f'<0 puis f'>0
d'ou variations de f....

la tangnet est parallele a laxe des abcisses si f'(x)=0 ce qui
reveint pour toi a g(x)=m or tu as vu que cette equation avait 0
ou 1 ou 21 solutiuons ! ce qu'on te demand (au plus deux)

soit (X, Y) le point ou f' s'annule:
soit m=g(X)
4Xe(-2X)=m
et alors l'ordonée vaut fm(X)=Y=me(2X)-4X²

on a Y+4X²=me(2X)
or 4Xe(-2X)=m donc 4X=me(2x)
donc
Y+4X²=4X
Y=4X-4X² equation d'une parabole !

Je suis désolé , je rédige très mal, mais c'est dur de faire un
long proiblème comme ca en ligne,
t'a déjà de quoi faire,
récris si tu est coincée
A+

bonjour,
il s'agit d'un problème que j'ai envoyé hier. Le titre
du msg était "fonction exponentielle". Tout d'abord merci
de m'avoir aidé.
Tu m'avait dis que je pouvais réecrire si j'avais pas compris
alors...

Je te rappelle le problème: fm(x)=me^(2x)-4x².
La première question était de démontrer  que par un point M(xo;yo) donné,
il passe une courbe Cm et une seule. Tu as trouvé m=(1/2)ln(yo+4xo²).
Mé je n'arive pas à retrouvé ce résultat, moi j'ai m=(yo+4xo²)*e^(-2x).
et pourquoi l'expression de m que tu a trouvé est-elle unique?

Ensuite il fallait étudier le signe de fm'(x)=2e^(2x)[m-4xe^(-2x)]
Pour cela on etudie le signe de g(x)=4xe^(-2x). On trouve quelque soit
x appartenent a R, g(x)<ou égal a 2/e.

Si m>2/e, m-g(x)>0 car g(x)<ou égal a 2/e.
si m=0, fm'(x)=-8x donc fm'(x)>0 sur ]-inf;0[; fm'(x)<0
sur
]0;+inf[.
Si m=2/e, m-g(x) >ou égal a 0 car g(x)<ou égal a 2/e
ce que je n'ai pas compris c'est lorsque m appartient entre
]0;2/e[ et lorsque m<0. Il faut determiner graphiquement?pourquoi
le signe change 1fois lorsque m<0 et pourquoi change-t-il 2fois lorsque
m appartient a )0;2/e[?

Enfin pour la tengente en Km, j'ai trouvé y=2mx+m, c'est bon?
A partir de la comment faire pour trouver le point I fixe. (Km est
le point d'intersection de la courbe Cm et de l'axe des
ordonnées. la tangente en Km à Cm passe par un point fixe I. Il fallait
préciser ce point I.)

** message déplacé **

J'ai repéré des erreurs par endroit.
Voila ma version:

A.1
a)

fm(x0) = m.e^(2x0)-4.(x0)²
y0 =  m.e^(2x0)-4.(x0)²
m = (y0 + 4.(x0)²).e^(-2x0)
la valeur de m existe quelles que soient les valeurs de x0 et y0. (1)

Comme m ne dépend que de x0 et de y0 qui sont imposés (puisque M(X0;Y0)
est donné), la valeur de m est unique pour un point M donné. (2)
(1) et (2) -> Il passe une et une seule courbe Cm par un point M(x0 ;
y0) donné.
---
b)
La question est drôlement posée.
Je suppose qu'il faut montrer que fm(a) avec "a" fixé augmente
lorsque m augmente.

On a: fm(a) = m.e^(2a) - 4a²
Comme e^(2a) est une constante positive quelle que soit la valeur de "a"
donnée ->
fm(a) augmente si m augmente.

C'est évident mais si tu veux absolument le démontrer, on fait ainsi:

fm(a) = m.e^(2a) - 4a²

On dérive par rapport à m (puisque on veut voir le comportement de fm(a)
quand m varie).
On note fm'(a) la dérivee de fm(a) par rapport à m.
fm'(a) = e^(2a)
et comme e^(2a) > 0 -> fm'(a) > 0 et fm(a) est croissante avec
m.
-----
2)
a)
fm'(x) = 2m.e^(2x) - 8x
fm'(x) = 2.e^(2x) .[m - 4x.e^(-2x)]
---
b)
e^(2x) > 0 quel que soit x ->
fm'(x) a le signe de  [m - 4x.e^(-2x)]
-----
g(x) = 4x.e^(-2x)
g'(x) = 4.e^(-2x) - 8x.e^(-2x)
g'(x) = 4.e^(-2x) .[1-2x]
avec e^(-2x) > 0 quel que soit x.
g'(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 1/2[ -> g(x) croissante.
g'(x) = 0 pour x = 1/2
g'(x) < 0 pour x dans ]1/2 : oo[ -> g(x) décroissante.

Il y a un maximun de g(x) pour x = 1/2, ce max vaut g(1/2) = 2.e^(-1)
= 2/e

Si m > 2/e
[m - 4x.e^(-2x)] > 0 -> fm'(x) > 0 et fm(x) est croissante.
fm(x) est strictement croissante sur R.

Si m = 2/e
[m - 4x.e^(-2x)] > 0 pour x dans ]-oo ; 1/2[ U ]1/2 ; oo[ -> fm'(x)
> 0 et fm(x) est croissante.
[m - 4x.e^(-2x)] = 0 pour x = 1/2 -> fm'(x) = 0
fm(x) est croissante sur R.  (pas strictement croissante )

Si m < 2/e
[m - 4x.e^(-2x)]  = 0 si 4x.e^(-2x) = m
Il faut étudier le signe de m - 4x.e^(-2x)
Par l'étude préalable de g(x) = 4x.e^(-2x), on sait que g(x) max
= 2/e
et comme lim(x-> -oo) g(x) = -oo
et lim(x -> oo) g(x) = 0
->
Si m est dans ]0 ; 2/e[, il y a 2 valeurs de x qui annulent [m - 4x.e^(-2x)],
appelons ces valeurs de x , alpha et beta avec alpha < beta
On a alors:
fm'(x) > 0 pour x dans ]-oo ; alpha[ -> fm(x) est croissante.
fm'(x) = 0 pour x = alpha
fm'(x) < 0 pour x dans ]alpha ; beta[ -> fm(x) est décroissante.
fm'(x) = 0 pour x = beta
fm'(x) > 0 pour x dans ]beta ; oo[ -> fm(x) croissante.
Il y a un max de fm(x) pour x = alpha
Il y a un min de f(x) pour x = beta.

Si m = 0
les valeurs de alpha et beta sont confondues et valent 0, on a alors:
fm'(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> fm(x) est croissante.
fm'(x) = 0 pour x = 0
fm'(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> fm(x) est décroissante.
Il y a un max de fm(x) pour x = 0, ce max vaut f0(0) = 0

Si m < 0
les valeurs de alpha et beta sont confondues et < 0
fm'(x) > 0 pour x dans ]-oo ; alpha[ -> fm(x) est croissante.
fm'(x) = 0 pour x = alpha
fm'(x) < 0 pour x dans ]0 ; alpha[ -> fm(x) est décroissante.
Il y a un max de fm(x) pour x = alpha
------
l'étude précedente prouve que, selon la valeur de m, la courbe Cm possède
au plus 2 points en lesquels la tangente est parallèle à l'axe
des abscisses.

En effet, une tangente est // à l'axe des abscisses uniquement
aux points où la courbe présente des extrema.
On a vu que les courbes Cm avaient au maximum 2 extrema et donc il y
a au max 2 points en lesquels la tangente est parallèle à l'axe
des abscisses.
------
1)
a)
On vient de voir que les point Sm ne trouvaient aux endroits des extrema
de Cm.
En ces points, fm'(x) = 0 et donc: m - 4x.e^(-2x) = 0
-> m = 4x.e^(-2x), ces points appartiennent à Cm (puisque ce sont les
points où Cm à des tangentes // à ...)
et donc pour ces points, y=me^(2x)-4x²

y=me^(2x)-4x²
m = 4x.e^(-2x)

y = 4x.e^(-2x).e^(2x)-4x²
y = 4x-4x²
y = -4x² + 4x
Qui est l'équation d'une parabole -> les points Sm appartiennent
a une parabole P d'équation y = -4x²+4x
------
3)a)
Intersection de Cm avec l'axe des ordonnées par le système:

y=me^(2x)-4x².
x = 0

-> Km(0 ; m)
---
fm'(0) = 2.e^(0) .[m - 0.e^(-2x)]
fm'(0) = 2m

Tangente à Cm passant par Km:
(y - m) = (x - 0).2m
y = 2mx + m
y = m(2x + 1)

Et donc quel que soit m, ces tangentes passent toutes par le point (-1/2
; 0)
-----
Sauf distraction (inutile de préciser que je n'ai rien relu).

bonjour,
merci pour tes réponses J-P!

j'ai encore une toute petite question! dans la question B)2) il fallait
montrer reciproquement que tout point de la parabole est un point
de Sm. alors j'ai fait:
me^(2x)-4x²=-4x²+4x et j'ai retrouvé m=4xe^(-2x). Mais est ce que j'ai le droit
de faire ca? car je suis parti de l'hypothèse que tout point
de la parabole est un point de C et jsuis pas sur que j'ai le
droit.

voilà, merci encore pour vous réponses Guillaume et J-P!
svp répondez-moi...

merci pour l'aide c super sympa  




et g capT l'exo c cool!!
merci et a la prochaine