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Fonction exponentielle

Posté par
Missnana
31-10-19 à 15:16

Bonjour, j'ai cet exercice qui me pose problème et je me demandais si vous pouviez m'aider ! Voici l'énoncé :

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = ex / 1+ex
Soit C sa courbe représentative et T la tangente à C en son point d'abscisse 0.

1) Etudier le sens de variations de f sur R
2) Déterminer une équation de la droite T
3) Soit g la fonction définie sur R par g(x) = 1/4 x + 1/2 - f(x)
a) Montrer que, pour tout x, g'(x) = (ex - 1)² / 4(1+ex
b) En déduire le sens de variations de g
c) Calculer g(o)F
d) En déduire la position de C par rapport à T

Voilà, j'ai déjà calculé pour la question 1 la dérivée f' et j'ai trouvé ex / (1+ex)² car il faut connaître le signe de f' pour avoir les variations de f mais à partir de la je ne sais pas comment avoir le signe de f' et ni comment faire mon tableau de signe et de variations. Je n'ai pas encore fait les questions qui suivent.

Merci d'avance, Sannana

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:26

Salut,

Pour obtenir le signe de f'(x), il suffit d'avoir le signe du numérateur et celui du dénominateur...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:27

Bonjour

Tu ne connais pas le signe de l'exponentielle?

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:32

Exponentielle est toujours positive @Camélia

Et sinon @Yzz , Le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs donc f' est de signe + ?

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:37

Mais quand on trace la courbe de f', elle est croissante sur -infini ; 0 et décroissante sur 0 ; +infini donc je ne sais pas quoi dire...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:39

Ce n'est pas la courbe de f' qui t'intéresse, mais celle de f, qui est bien croissante.

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:39

Citation :
Mais quand on trace la courbe de f',
Pourquoi donc tracer la courbe de f'  ?

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:41

Je ne sais pas...

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:41

Donc calculer f' n'a servi à rien ?

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:42

Si.

Pour avoir les variations d'une fonction, que faut-il faire en général ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:42

C'est bien le calcul de f' qui te permet de trouver son signe, donc la variation de f.

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:43

@Yzz , il faut trouver le signe de sa dérivée

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:49

Donc tu as trouvé le signe de la dérivée, non ?

Missnana @ 31-10-2019 à 15:32

Exponentielle est toujours positive @Camélia

Et sinon @Yzz , Le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs donc f' est de signe + ?

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 15:51

Oui, le signe est +
Et donc après f est strictement croissante sur -infini ; +infini ?
C'est ça la réponse de la question 1 ?

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:10

et pour trouver une équation de la tangente on utilise y= f'(a) (x-a) + f(a) ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:10

Oui.

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:17

Donc ma réponse était juste ?
Et par quoi dois-je remplacer les a de la formule ?
Désolé je suis vraiment perdue...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:18

Tu cherches la tangente au point 0, donc a=0.

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:26

D'accord : je trouve : y= 1/4 x + 1/2 c'est ça ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:32

OK.

Je dois partir, j'espère que Yzz ou quelqu'un d'autre prendra la suite.

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:36

Pas de soucis merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:56

Pour la question 3-a), j'ai fait :
g(x) = 1/4 x + 1/2 - f(x)
g(x) = 1/4 x + 1/2 -  ex / 1+ex

Mais pour trouver g'(x) il faut que je dérive 1/4 x et 1/2 mais je ne sais pas comment faire comme ça après je fais :

g'(x) = dérivée de 1/4 x et 1/2 - f'(x)

Pouvez vous m'aider à dériver 1/4 x et 1/2 ?

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 16:59

J'ai cherché et trouvé :

g'(x) = -1/4.x² - f'(x)

c'est ça ?

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 17:14

Non.

(-1/4*x)' = -1/4  et  (1/2)' = 0

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 17:17

Oui pour (1/2)' mais après on cherche (1/4)' et non (-1/4*x)'

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 17:18

Heu pardon (1/4*x)' et non (-1/4*x)'

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 17:19

Donc la dérivée de (1/4*x) est ?
J'ai trouvé -1 / 4*x² mais je ne suis pas sure

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 31-10-19 à 17:24

Règle générale : (kx)' = k

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:24

Donc (1/4*x)' = 1/4 ?

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:24

Oui.

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:26

D'accord merci beaucoup, je calcul ça tout de suite

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:27

Oké    

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:28

Et donc du coup g'(x) = 1/4 - ex / (1+ex)² ?

Posté par
Yzz
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:29

Oui.

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:44

J'ai bien réussit à obtenir le bon résultat.

Maintenant, pour la question b) : en déduire le sens de variations de g, le signe de g' est + donc g est strictement positif sur R ? C'est bien ça ?

Et pour la question c) : calculer g(0), j'ai trouvé g(0) = 0 ??

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:52

Non, g' est strictement positif, donc g est strictement croissante sur R.
OK pour g(0)

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 14:54

D'accord, croissante merci ça commence à rentrer grâce à votre aide

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 15:15

J'ai trouvé que Cf est en dessous de T sur ]-infini ; 0)
et                             Cf est au dessus de T sur [0 ; +infini[
C'est correct ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 15:16

Oui

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 15:17

Super ! En tout cas merci énormément pour votre aide c'est très gentil de votre part de prendre du temps pour nous aider ! Merci encore

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 15:18

Tu as bien travaillé toi aussi!

Posté par
Missnana
re : Fonction exponentielle 02-11-19 à 15:21

Merci



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