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Fonction exponentielle
Bonjour,
cela fait quelques jours que je suis bloqué sur des exercices sur les fonctions exponentielle. Voici un des exercices en question :
Dans un repère orthonormée, on a tracé la courbe (Cf ) représentative de la fonction f définie sur R par :
f(x) = (1 − x)ex
A et B sont les points de (Cf ) d'abscisses respectives 1 et −1.
1. Dans cette question, on se propose d'´étudier la position de la courbe (Cf ) par rapport à la tangente (T ) en B à (Cf ) .
Pour cela on considère la fonction g définie sur R par :
g(x) = (1 − x)ex −1/e(x + 3)
(a) Calculer g'(x) et g''(x) pour tout nombre x.
(b) Etudier le sens de variation de g' et préciser g(−1).
(c) En déduire le sens de variation de g et conclure.
2. Démontrer que les tangentes en A et B `a la courbe (Cf ) sont perpendiculaires.
1.(a) J'ai tenté de calculer la dérivée de g(x) et la dérivée de g'(x), voici ce que j'ai trouvé:
g'(x)=ex-xex-(x-2)/(e)
et g''(x)=ex-xex-(x-1)/(e)
J'aimerai déjà savoir si ces deux dérivées sont correctes car je n'en suis pas certaine.
1.(b) J'ai compris que pour pouvoir étudier le sens de variation de g' il fallait d'abord que j'étudie le signe de g''. Or, je ne vois pas trop comment faire étant donné que en dérivée j'ai des sommes et pas des produits donc pour avoir le signe je ne sais pas comment m'y prendre?
(c) il sera possible de la faire si j'ai fais les deux autres questions...
2) Je suppose que il faudra que je trouve les équations des deux tangentes à l'aide de :
y=f'(a)(x-a)+f(a) et que je montre que leurs coefficients directeur est opposés, alors elles sont perpendiculaires ?
Question 1b : Pour étudier le signe de g'', ce serait effectivement plus facile si on avait un produit plutôt qu'une somme.
Je n'ai pas vérifié si le calcul de g'' est correct, mais l'expression que tu donnes, on peut facilement la factoriser par x-1 ; et on l'aura, le produit que tu espérais.
Question 2) : Pour montrer que les tangentes sont perpendiculaires, il faut effectivement que tu calcules les 2 coefficient directeurs. appelons k1 et k2 ces 2 coefficients directeurs.
Quelle est la relation entre k1 et k2 quand les 2 droites sont perpendiculaires ?
Pour la 2) tu calcules, tout simplement f'(-1) et f'(1); si f'(-1)*f'(1)=-1, les tangentes en -1 et 1 sont perpendiculaires. Le calcul de f'(x) est simple.
Salut,
Tes dérivées sont fausses.
Ecris le détail de tes calculs.
Voici ce que j'ai fais pour les dérivées :
g(x) = (1 − x)ex −1/e(x + 3)= ex-xex-(x+3)/e
g'(x)=ex-xex-?
J'ai cherché la dérivée de (x+3)/e
avec la formule pour u/v
ce qui donne (1*e-(x+3)*e)/e2
(e-xe-3e)/e2
e(x-2)/e2
(x-2)/e
donc g'(x)=ex-xex-(x-2)/e
J'ai fais la même chose pour g''(x), j'ai dérivée de la même manière g'(x)
bonjour
non, g(x) = (1 − x)ex −1/e(x + 3)
commence par dériver le produit (1-x)e^x correctement (dérivée d'in produit, pas la peine de développer avant)
ensuite pour dériver 1/e (x+3) : 1/e est un simple coefficient multiplicateur, dérivée de kx avec k réel
g'(x) est juste
g"(x) est faux
- la dérivée d'une constante vaut 0, que je sache
- et tu dois reconnaître quand tu as un produit à dériver !!
ok donc cela veut dire que la dérivée de 1/e =0 et par produit la dérivée de g''(x)= -ex-xex ?
Soit g''(x)= ex(-1-x)
Ok merci ! Donc maintenant si je veux le sens de variation de g' je cherche d'abord le signe de g'' j'ai donc trouvé qu'elle était positive de ]-
;-1[ et négative de ]-1;+[
Donc g' est croissante jusqu'en -1 puis décroissante ?
g'(-1)=0 ?
Super merci !
Pour la suite j'en est déduis d'après le tableau de variations que g était décroissante sur R.
Pour les tangentes j'ai commencé par dériver f(x) :
f'(x)= -xex
Je ne sais pas si c'est correct ?
Et après je calcule :
yA=f'(1)(x-1)+f(1)
YB=f'(-1)(x+1)+f(1) ?
Super merci !
Pour la suite j'en est déduis d'après le tableau de variations que g était décroissante sur R. exact
Pour les tangentes j'ai commencé par dériver f(x) f (on dérive une fonction et la fonction, c'est f pas f(x) ) :
f'(x)= -xex exact
Je ne sais pas si c'est correct ?
Et après je calcule :
yA=f'(1)(x-1)+f(1) ne mets pas A , ni B
YB=f'(-1)(x+1)+f(-1) ? attention, un signe - de perdu
Ok donc cela fait :
Pour la première tangente : y=f'(1)(x-1)+f(1)
=-e(x-1)+0
= -xe+e
Pour la seconde tangente : y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
=e-1(x+1)+2e-1
=xe-1+3e-1
Si mes équations sont correctes je ne sais pas trop comment expliquer qu'elles sont perpendiculaires
je n'ai pas vérifié tes calculs
mais
soit 2 droites d'équations respectives y=ax+b et y=a'x+b'
ces deux droites sont perpendiculaires si a*a'=-1
si tu ne sais pas ça, tu prends un vecteur directeur de chaque droite, et tu montres que les vecteurs sont orthogonaux avec le produit scalaire, c'est vite fait
J'ai vérifié et c'est correct j'obtiens bien -1 lorsque je multiplie les deux coefficients directeurs ! Donc elles sont perpendiculaires.
Merci beaucoup pour votre aide, je vous souhaite un bon après midi 
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