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Fonction exponentielle

Posté par
Heliot
21-01-20 à 08:47

Bonjour,  

f définie sur [0;15] par f(t)=(0,5t+1,25)e^-0,4t

b. Montrer que f est décroissante
c. Justifier que l'équation f(t)=0,1 admet 1 seule solution

Voilà ce que j'ai trouvé

b. f'(t) =0,5t^-0,4t - 0,4 (0,5t+1,25)
e^-0,4t= -0,2 te^-0,4t<0  
La fonction f est donc décroissante

c. f(0)=1,25 et f (15 ) ~0,02
f(0)=1,25<f(t)=0,1<f(15)~0,02
D'après le théorème des valeurs intermédiaires f(t)=0,1 admet donc 1 seule solution.

Est-ce exact?
Merci pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction exponentielle 21-01-20 à 09:10

Bonjour,
Ceci est à rectifier

Citation :
f(0)=1,25 < f(t)=0,1 < f(15)~0,02
D'abord, n'y écris pas des "=" ou "".
Contente toi d'y mettre f(0), 0,1 et f(15) ; mais dans le bon ordre !
Ne parle pas de f(t) avant d'avoir démontré que t existe.

Pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, il faut justifier que toutes les conditions de son utilisation sont réalisées (continuité ou dérivabilité, ... ).

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 21-01-20 à 13:54

La dérivée n'est pas correcte en cours d'écriture :  problème de clavier ou d'espace ?    et de parenthèses


 f'(t)=0,5\text{e}^{-0,4t}-0,4(0,5t+1,25)\text{-0,4t}=\text{e}^{-0,4t}\left(0,5-0,2t-0,5\right)

Posté par
Heliot
re : Fonction exponentielle 21-01-20 à 19:36

Merci Hekla,  et pour démontrer que f(t)=0,1 ?

Posté par
Heliot
re : Fonction exponentielle 21-01-20 à 20:04

Pour la dérivée j'ai trouvé
f'(t)=0,5e ^-0,4t-0,4(0,5t+1,25)e^-0,4t=
-0,2 t e ^-0,4t

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 21-01-20 à 20:18

Il n'y avait pas de problème pour le résultat final  malgré l'absence de parenthèses
   il y avait un t au lieu de \text{e} un passage à la ligne qui ne se justifiait pas d'autant que  par la suite vous avez écrit =


TVI  vous justifiez correctement  fonction dérivable strictement décroissante  0,1\in[f(10)~;~f(0)]
donc il existe un unique réel \alpha appartenant à     tel que f(\alpha)=0,1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction exponentielle 21-01-20 à 20:49

Citation :
et pour démontrer que f(t)=0,1 ?
Il ne s'agit pas de démontrer que f(t) = 0,1.
Il s'agit de démontrer qu'il existe un réel t unique dans [0;15] qui vérifie f(t) = 0,1.



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