Bonjour
Calculer la limite en + infini et en - infini
En + infini
Lim XlnX=+ infini et lim (1/e^x-1)=0
Donc on a une forme + infini *0
Que est ce que je dois faire dans ce cas
Bonjour,
en - impossible, le ln x n'est pas défini pour les x négatifs.
en + il te suffit de mettre e^x en facteur et de savoir que la limite de e^x/x est l'infini pour lever l'indétermination.
f(x)=(xlnx)/e^x(1-1/e^x)
f(x)=x/e^x*lnx*1/1-1/e^x
Lim x/e^x=+ infini, lim lnx=+ infini, et lim 1/1-1/e^x=1
Lim f(x)=+ infini
oui tu as raison, c'est un peu plus compliqué parce que le ln x est gênant.
il faut utiliser une astuce et dire que ln x < x (facile à démontrer) et majorer l'expression avec quelque chose qui tend vers 0.
la fonction x-ln x a pour dérivée 1-1/x, cette dérivée s'annule pour x=1 elle est négative avant 1 et positive après. le minimum de la fonction est donc pour x=1 et vaut 1
on a donc toujours x - ln x 1 donc ln x x-1 x
il utilise une règle (qui n'est pas au programme) qui dit que si f(x) et g(x) tend vers 0 alors f(x)/g(x) a la même limite que f'(x)/g'(x)
et donc il a dérivé le numérateur et le dénominateur pour trouver que la limite est aussi celle de (1+ ln x) / e^x.
je ne te recommande pas cette méthode, les profs n'aiment pas du tout qu'on l'emploie en Terminale.
Et puis d'ailleurs ici, f(x) et g(x) ne tendent pas vers 0 donc on a pas le droit d'employer cette méthode.
Si j'ai bon en fait c'est soit les deux numérateur et dénominateur tendent vers 0 ou les deux tendent vers +inf.
FerreSucre, je te demande de ne pas intervenir niveau lycée, pour y mettre des démonstrations hors programme...
On a démontre que
Lnx<x
xlnx<x^2
(xlnx)/(e^x-1)<(x^2)/e^x-1)
En + infini
Lim (x^2)/(e^x-1)=0
Finalement
lim xlnx/(e^x-1)=0
Elle est quand même super pratique cette technique je comprends pas pourquoi on ne l'enseigne pas en terminale... elle est pas si compliqué si on sait dérivée.
salut
j'aurais écrit
le deuxième quotient tend vers 1
le premier quotient tend vers 0 (par croissance comparée)
Sauf que ça n'est pas habituellement dans les registres de croissance comparée, c'est pourquoi dans les posts précédents on a majoré ln x par x pour se ramener à une forme classique de comparaison de fonctions.
ouais enfin là tu chipotes ...
il est classique que ln x / x --> 0 en +oo (croissance comparée) donc ln x < x (au moins à partir d'un certain rang) donc x ln x < x^2 puis croissance comparées x^n/exp (x) ...
Je ne comprends pas toujours
En + infini
Lim xlnx=+ infini
Lim e^x=+ infini
Donc on a une forme indéterminée
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :