Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale DérivéesTopics traitant de Dérivées [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

fonction exponentielle

Posté par
moussolony 19-02-20 à 01:58

Bonjour
Énoncé:
Le plan muni d un repéré orthonorme (o,i,j) unite graphiqur : 1 cm
On considere la fonction f de R dans R definie par:{ f(x)=(x+1)(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}
f(1)=0}
C désigné la courbe représentative de f dans le repéré (o,I,j).
Partie A(Étude de la fonction f)
1/ calculer la limite de f en + infini et en - infini
b/ calculer la limite de a gauche et a droite en 1
2a/ étudier la continuité de f en 1
b/ étudier la dérivabilité de f a droite en 1
3/a/ étudier le sens de variation de f
b/ dresser le tableau de variation de f
Partie B(représentation graphique de la fonction)
1/ démontrer que la droite (T): y=√ex+√e est tangente a (c) au point d abscisse -1
2/ démontrer que la droite (D) : y=x est une asymptote a (c) en + infini et en - infini
3/ on donne la fonction g de R vers R définie par: g(x)=f(x)-(√ex+√e).
Calculer g'(1) et donner l arrondi d ordre 2 de g'(5/3)
b/ vérifier que :
Pour R\{1} ,g''(x)=\frac{-3x+5}{(x-1)^4}*e^{\frac{-1}{x-1}}
c/ étudier le sens de variation de g'
d/ démontrer que:{ pour x appartenant]- infini,-1[ U]1,+ infini[ ,g'(x)<0, pour x appartenant]-1,1[ ,g'(x)>0, g'(-1)=0}
e/ démontrer que{ pour x appartenant]- infini,1[ , g(x)0, pour x appartenant] 1, + infini[ ,g(x)<0

f/ étudier la position de (T) par rapport a la courbe (c).
4/ soit h la fonction définie de R*\{1} dans R par: h(x)=\frac{x+1}{x}e^{\frac{-1}{x-1}}-1
\frac{x+1}{x}e^{\frac{-1}{x-1}}-1
a/ donner l arrondi d ordre 2 de h(1/3)
b/ calculer la limite de h en - infini et en + infini
c/ étudier le sens de variation de h.
d/ déterminer le signe de h(x) suivant les valeurs de x .
e/ étudier la position de (C) par rapport a la droite (D)
5. Tracer les droites (D) ,(T) et construire (C)


Réponse
Question 1a
En + infini
Lim f(x)=+ infini
En - infini
Lim f(x)=-infini
Question 1b/
A gauche de 1
Lim f(x)=+ infini
A droite de 1
Lim f(x)=0
Question 2a
La limite a droite de 1
Lim f(x)=0
Lim f(x)=f(1)=0
Donc f est continue en 1

Question 2b
Calculons\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}}{x-1}
La limite en 1
Lim (x+1)e^{-1/x-1)=0 et lim 1/(x-1)=+ infini

J ai trouvé 0*infini


J ai besoin d aider pour étudier la dérivabilité de f

Posté par
naghmouchre : fonction exponentielle 19-02-20 à 08:21

Bonjour.

  Faire apparaître la forme  UeU  avec  U -

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 11:43

Posons
x=U\frac{(U+1)e^{\frac{-1}{U-1}}}{U-1}
On peut simplifier par U
\frac{(1+\frac{1}{U}}{1-\frac{1}{U}}*e^{\frac{-1}{U-1}}

En - infini
J ai trouvé 1
C est correcte maintenant

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 11:57

La fonction est bien :
f(x) = (x+1)²e^{\frac{-1}{x-1}},

\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty
\lim_{x\to -\infty}f(x) = +\infty

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 12:27

Pour la 1b) :

Quand x < 1 et tend vers 1 ce n'est pas indéterminée. Parcontre :

\lim_{\frac{x\to 1}{x >1}}(x+1)²e^{\frac{-1}{x-1}}

On peut poser X = \frac{1}{x-1}
Ainsi ça devient :

\lim_{X\to +\infty}(\dfrac{1}{X} + 2)² e^{-X}

= \lim_{X\to + \infty}\dfrac{(\dfrac{1}{X}+2)²}{e^X} = ...

Qui n'est plus indéterminée.

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 12:33

Oups pardon en fait les deux limites n'étaient pas indéterminé on a :

\lim_{\frac{x\to 1}{x > 1}}f(x) = 0
\lim_{\frac{x\to 1}{x<1}}f(x) = +\infty

Ainsi on peut conclure sur la continuité.

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 12:38

Ah la fonction est :

f(x) = (x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}
Et non :

Citation :
On considere la fonction f de R dans R definie par:{ f(x)=(x+1)(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}


Ça ne change rien au limite.

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 17:33

Bonjour
On remarque la limite a droite de 1 est différent de celle de la gauche 1
Selon moi
f n est pas continue. En 1
Est ce que mon affirmation est exact?

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 17:53

salut, c'est exact

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:00

Question 2b
J ai besoin d aider

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:08

je ne vois pas de pb particulier

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:12

Pour la 2b) dérive f et fait la limite en 1+ de f'(x). Si tu tombes sur un réel L, alors elle est dérivable en 1+ si tu tombes sur +oo, alors elle ne l'est pas.
Bonne chance

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:16

f'(x) = e^{\frac{-1}{x-1}} + \dfrac{1}{(x-1)²}(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}

Elle n'est même pas indéterminé.

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:20

Question2b
\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)}=\frac{(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}}{x-1}
La limite a droite de 1
Lim (x+1)^e^(-1/x-1)=0 et lim 1/(x-1)=+ infini
Donc on a une forme indéterminée

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:21

FerreSucre @ 19-02-2020 à 18:12

Pour la 2b) dérive f et fait la limite en 1+ de f'(x). Si tu tombes sur un réel L, alors elle est dérivable en 1+ si tu tombes sur +oo, alors elle ne l'est pas.
Bonne chance

Attention hors programme, plutot chercher la limite de (f(x)-f(1))/(x-1)

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:28

La limite de f(x)-f(1)/x-1
Je trouve toujours une forme indéterminée

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:31

oui tu as raison
ecrire e^(-1/(x-1))/(x-1) sous la forme X*e^(-X)

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 19-02-20 à 19:14

Même pas besoin de changement de variable

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 20:03

FerreSucre @ 19-02-2020 à 19:14

Même pas besoin de changement de variable

Peux tu rediger ta demo ?

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 20:07

FerreSucre @ 19-02-2020 à 18:12

Pour la 2b) dérive f et fait la limite en 1+ de f'(x). Si tu tombes sur un réel L, alors elle est dérivable en 1+ si tu tombes sur +oo, alors elle ne l'est pas.
Bonne chance

Que se passe-t-il si f' n'a pas de limite ?

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 19-02-20 à 22:27

Il y a du boulot dans cet exercice !
Merci de me signaler les trop nombreuses erreurs

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 02:00

f(x)=(x+1)e^{\frac{-1}{x+1}}

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 20-02-20 à 03:55

Ah pardon je retire ce que j'ai dis j'ai pas fais gaffe c'est la limite en 1+ il faut faire :

f'(x) = e^{\frac{-1}{x-1}}+\dfrac{1}{x-1}*\dfrac{1}{x-1}*(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}

Avec X = \dfrac{1}{x-1}

On peut facilement avoir :
(x+1) = \dfrac{1}{X} + 2

\lim_{X\to +\infty}X²(\dfrac{1}{X} + 2)*e^{-X} = \lim_{X\to +\infty}\dfrac{2X^2 +X}{e^X} = 0

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 20-02-20 à 04:00

PS : Le e^{\frac{-1}{x-1}} au début de f'(x) = 0 en la lim en 1+ ducoup je l'ai pas mis dans les autres calculs il ne change rien.

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 20-02-20 à 08:47

moussolony @ 20-02-2020 à 02:00

f(x)=(x+1)e^{\frac{-1}{x+1}}

tu changes l'enonce ?

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 09:14

Non,au fait j ai mal recopie la fonction f(x)
J aimerais si je dois utiliser la méthode proposée par ferrusucre
''

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 20-02-20 à 09:34

non la methode de FerreSucre presente deux ecueils:
1/ elle n'est pas au programme
2/ elle est plus complexe ici que l'etude du taux d'accroissement

Au bac sa methode ne sera pas validee !

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 11:42

Question 2b
Posons X=1/x-1
f(x)-f(1)/x-1=e^-X/1/X=Xe^-X
La limite en + infini
Lim Xe^-X=0
La limite de f a droite en 1
Lim f(x)-f(1)/x-1=0
Donc f est dérivable a droite en 1

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 20-02-20 à 11:44

Ah, elle est pas autorisé ma méthode ;(

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:01

Oui c'est bon moussolony

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:04

Prochaine question, le sens de variation de f, faut donc étudier le signe de la dérivée que je t'avais déjà mis auparavant, je te la remet :

f'(x) = e^{\frac{-1}{x-1}}+\dfrac{1}{(x-1)² }*(x+1)e^{\frac{-1}{x-1}}

Bonne chance

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:44

On a
e^(-1/x-1)>0 et e^(-1/x-1)/(x-1)^2>0
Le signe de f'(x) est donc du signe de (x+1)
Pour x appartenant]- infini,-1[ ,f'(x)<0 donc f est strictement décroissant
Pour x appartenant]-1,+infini[,f'(x)>0, donc f est strictement croissant

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:49

non il faut factoriser f'(x)

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:52

f'(x)=e^-1/x-1(1+(x+1)/(x-2)^2)

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:57

insuffisant il faut reduire au meme denominateur

Posté par
FerreSucrere : fonction exponentielle 20-02-20 à 14:30

Un petit conseil :
e^{\frac{-1}{x-1}} > 0, \forall{x} \in \R
Et on a :

f'(x) = e^{\frac{-1}{x-1}}(1 + \dfrac{x+1}{(x-1)²})

f'(x) = e^{\frac{-1}{x-1}}( \dfrac{(x-1)² +x+1}{(x-1)²})

f'(x) = e^{\frac{-1}{x-1}}( \dfrac{x²- x +2}{(x-1)²})

À partir d'ici tu peux l'étudier très simplement le signe

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:27

Le signe f'(x) est donc x^2-x+2
Or le signe de x^2-x+2 est positif
on en déduit que:
f'(x)>0

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:32

alb12 @ 19-02-2020 à 22:27

Il y a du boulot dans cet exercice !

Clique pour pouvoir avancer tout seul !
ok pour ton signe de derivee

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:43

Partie B
Question 1
y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
f'(-1)=e^1/2
Mais je n ai pas trouvé √e

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:51

on peut voir ton calcul ?

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 24-02-20 à 00:16

f'(-1)=e^1/2(2/4)
f'(-1)=e^1/2*1/2
C est plutôt e^1/2*1/2 pas e^1/2
Maintenant comment trouver √e

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 24-02-20 à 10:44

moussolony @ 23-02-2020 à 22:43

Partie B
Question 1
y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
f'(-1)=e^1/2
Mais je n ai pas trouvé √e

oui e^(1/2) c'est racine de e

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 26-02-20 à 22:51

Bonsoir
Question 3a
g'(1)=√e
g'(5/3)=0,69

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 26-02-20 à 23:57

Partie B
Question 2
xe^(-1/x-1)+e^(-1/x-1)-x=f(x)-x
En + infini
Lorsque je calcule la limite de f(x)-x en + infini.
Je ne trouve pas zero

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 29-02-20 à 10:59

il y a peut etre mieux, voici ce que je propose
f(x)-x=(e^(-1/(x-1))-1)/(-1/(x-1))*(-x/(x-1))+e^(-1/(x-1))
on trouve pour limite 1*(-1)+1=0


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !