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fonction exponentielle
Bonjour à tous j'aurais besoin d'aide pour cet exercice car j'ai du mal avec certaines questions
Enoncé :
On considère la fonction f définie sur [0; + infini[ par f(x) = (e^x) / (1+x)
On note Cf la représentation graphique de f dans un repère du plan.
1- Déterminer les coordonnées du point A, point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des ordonnées.
J'ai fait :
Le point A est le point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des ordonnées donc il a pour abscisse 0
Pour l'ordonnée on résoud
f(0) = (e^0) / (1 + 0)
= e^0 / 1
= 1
Donc A a pour coordonnées (0 ; 1)
2- La courbe Cf coupe-t-elle l'axe des abcisses ? Justifier
Ici je ne sais pas comment m'y prendre
3- On note f' la dérivée de la fonction f sur [0 ; + infini[. Montrer que, pour tout réel de x de l'intervalle [0 ; + infini[, f'(x) = (xe^x) / (1+x)²
J'ai fait :
u(x) = e^x v(x) = 1+x
u' (x) = e^x v'(x) = 1
on a ( u' v - v' u) / v²
f'(x) = (e^x * (1+x) - 1 * e^x ) / (1+x)²
= (xe^x) / (1+x)²
Etudier le signe de f'(x) sur [0 ; + infini[. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; + infni[
J'ai fait :
1 + x = 0
x = -1 (on ne le met pas dans le tableau car il est inférieur à 0
X 0 + infini
signe de xe^x +
signe de 1 + x -
signe de f'(x) -
merci pour votre aide, bonne journée
salut
quelles sont les coordonnées d'un point d'intersection de la courbe de f et l'axe des ordonnées ?
quelles sont les coordonnées d'un point d'intersection de la courbe de f et l'axe des abscisses ?
J'ai oublié une question
5- On note T la tangente à Cf au point A d'abscisse 1.6. La tangente T passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier la réponse
J'ai fait :
Passe par l'origine donc le point O (0 ; 0)
y = f ' (a) (x - a) + f (a)
0 = f '(a) (0 - a) + f(a)
0 = f' (1.6) (0 - 1.6) + f(1.6)
f'(1.6) = (1.6e^1.6) / (1+1.6)²
f(1.6) = (e^1.6) / (1+1.6)
j'ai commencé comme ça mais je ne sais pas du tout si je suis bien partie
merci
Bonjour merci pour votre réponse
les coordonnées d'un point d'intersection de la courbe de f et l'axe des ordonnées sont
(0 ; x)
les coordonnées d'un point d'intersection de la courbe de f et l'axe des abscisses sont
(x ; 0)
Bonjour, j'ai fait f(x) = 0
je ne trouve pas de solutions car e^x = 0 si le quotient est égal à 0 le numérateur le sera forcément aussi du coup cette affirmation est fausse parce que la fonction exponentielle est toujours positive
Je peux juste mettre ca pour justifier (si c'est correct bien sûr)
oui, la fraction ne s'annule pas, donc pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses
par contre revois un peu l'étude du signe de ta dérivée...
Ah oui effectivement je n'avais pas fait attention dans ce cas je met juste xe^x dans le tableau qui est positif donc la dérivée est positive et c'est tout ?
Bonjour merci pour votre réponse
les coordonnées d'un point d'intersection de la courbe de f et l'axe des ordonnées sont
(0 ; x) faux
les coordonnées d'un point d'intersection de la courbe de f et l'axe des abscisses sont
(x ; 0) oui mais encore ?
Je suis désolée mais je ne vois pas mon erreur si la courbe coupe l'axe des ordonnées ce point n'a pas pour abscisse 0 ?
Ah oui effectivement je n'avais pas fait attention dans ce cas je met juste xe^x dans le tableau qui est positif donc la dérivée est positive et c'est tout ?
tout à fait
Je suis désolée mais je ne vois pas mon erreur si la courbe coupe l'axe des ordonnées ce point n'a pas pour abscisse 0 ?
si bien sûr, mais son ordonnée est alors...
Oui désolé je me suis trompée c'est la dernière qu'il me reste et je ne sais pas si je suis bien partie
Je parlais de la 4ème avec la tangente je vous la remet ici
5- On note T la tangente à Cf au point A d'abscisse 1.6. La tangente T passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier la réponse
J'ai fait :
Passe par l'origine donc le point O (0 ; 0)
y = f ' (a) (x - a) + f (a)
0 = f '(a) (0 - a) + f(a)
0 = f' (1.6) (0 - 1.6) + f(1.6)
f'(1.6) = (1.6e^1.6) / (1+1.6)²
f(1.6) = (e^1.6) / (1+1.6)
c'est bien parti mais pas nécessairement bien rédigé
y = f ' (a) (x - a) + f (a)
y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)
et maintenant tu remplaces f(1,6) et f'(1,6) par leurs expressions respectives
et là tu vois
je peux faire f(0) = e^0/ 1+ 0 = 1 donc son ordonnées serait 1
les coordonnées d'un point de l'axe des ordonnées sont (0, z)
et si maintenant ce point est l'intersection de cet axe avec la courbe représentative d'une fonction f donc d'équation y = f(x) alors tu as :
donc ses coordonnées sont
les coordonnées d'un point de l'axe des abscisses sont (x, 0)
et si maintenant ce point est l'intersection de cet axe avec la courbe représentative d'une fonction f donc d'équation y = f(x) alors tu as :
donc ses coordonnées sont
merci carpediem j'ai bien compris et j'ai pris en note
Concernant la tangente, mes calculs ne tombent pas juste donc j'ai essayé de simplifier un maximum
y = f ' (a) (x - a) + f (a)
y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)
or f(1.6) = (e^1.6) / (1+1.6)
et f'(1.6) = (1.6e^1.6) / (1+1.6)²
La tangente à la courbe au point d'abscisse 1.6 a donc pour équation :
y = (1.6e^1.6) / (1+1.6)² (x-1.6) + (e^1.6) / (1 + 1.6)
La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1.6 a pour équation y = (1.6e^1.6) / (1+1.6)² (x-1.6) + (e^1.6) / (1 + 1.6)
donc elle ne passe pas par l'origine du repère
Ca irait comme ça ?
y =
dans la mesure où -(1,6)²+2,6 n'est pas égal à 0, je suis d'accord avec toi, cette tangente ne passe pas par l'origine
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