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Fonction exponentielle dans un repère

Posté par
oreo27 04-10-16 à 09:57

Bonjour,
J'ai un devoir maison a faire en maths sur les fonctions exponentielles dans un repère pour vendredi 7 octobre.

Énoncé :
          Soit la fonction f définie sur par f(x)=\frac{e^x}{1+e^x} et Cf sa courbe représentative dans le plan.

1. Démontrer que pour tout réel x, f(x)+f(-x)=1.
2. A tout réel a non nul, on associe les points M_{a} et N_{a} de la courbe Cf d'abscisses respectives a et -a.
On a tracé ci-dessous la courbe Cf et placé les points M_{a} et N_{a} pour a=3 et a=4.


Démonter que les segments \left[M_{a}N_{a} \right] ont un point commun.

Je ne sais pas du tout comment commencer. Merci de votre aide.

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:03

Bonjour,
1)
f(x)-f(-x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}-\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}

  rappel b≠0 et d≠0

(a/b)-(c/d)=(ad-bc)/(bd)

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:14

Oui, mais j'ai f(x)+f(-x)

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:15

oups , je corrige

f(x)-f(-x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}+\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}

  rappel b≠0 et d≠0

2°

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:17

Comment pourrais-je continuer ce calcul ? Dois-je la dériver ? Ou autre.

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:18

2) montre que les segments  ont  le même  milieu
rappel
I milieu de [AB]
x_I=(x_A+x_B)/2 \\ \\ y_I=(y_A+y_B)/2

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:19

f(x)+f(-x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}+\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}  

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:22

Oui, c'est que je me suis dis pour la deuxième question mais quels sont les coordonnées ?

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:30


M(a;f(a)) et N(-a;f(-a))
  

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:34

Pour M(3;f(a)) et N(-3;f(-a))?

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:42

relis
A tout réel a non nul A tout réel a non nul, on associe les points M_{a} et N_{a} de la courbe Cf d'abscisses respectives a et -a.
Démonter que les segments \left[M_{a}N_{a} \right] ont un point commun.

M_a(a,f(a))   et   N_a(-a,f(-a))

Posté par
mathafou Moderateurre : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 10:46

Bonjour,

dans ce genre d'exo il ne faut surtout pas donner une quelque valeur numérique que ce soit à a
les exemples a = 3 et 4 sont des exemples pour illustrer et uniquement illustrer, en te fournissant une figure toute faite pour t'éviter de la faire toi-même.

je te conseille de faire ta propre figure par exemple avec Geogebra et un curseur pour a

en faisant varier ce curseur tu verras sans doute mieux quel point commun ont tous les segments [M_aN_a] quel que soit a, mieux que sur la seule figure fournie avec seulement deux exemples ...

évidemment l'examen de la figure ne peut fournir qu'une conjecture sur ce point commun.
la démonstration est d'utiliser les coordonnées des points écrites avec a écrit "a" et rien d'autre, comme le dit Labo.

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 11:00

J'ai un plan fournit avec l'énoncé mais je ne peux pas vous l'envoyer.
Je ne comprends absolument rien aux exponentielles. Pour la question 1), j'ai essayé de dériver f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} mais je n'aboutis pas a 1. Je suis perdue.

Posté par
Labore : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 11:25

pour la 1)
tu mets au même dénominateur

f(x)+f(-x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}+\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \\

Posté par
mathafou Moderateurre : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 11:47

Citation :
J'ai un plan fournit avec l'énoncé mais je ne peux pas vous l'envoyer.
aucune importance vu que ce schema ne sert qu'à illustrer et à donner des idées si on n'en a pas (comme par exemple l'idée de calculer les coordonnées du milieu de [M_aN_a])

en voila un qui correspond à ce que je te proposais de faire (ton propre schéma dynamique sur Geogebra pour faire varier a)

Fonction exponentielle dans un repère

tout l'exo se fait uniquement par des calculs (avec des trucs de collège a^{-b} = \dfrac{1}{a^b}, a^{mn} = a^m\times a^n fractions, développements etc)
il n'y a aucune connaissance particulière sur "les exponentielles" à avoir ici !

Posté par
mathafou Moderateurre : Fonction exponentielle dans un repère 04-10-16 à 11:50

Citation :
il n'y a aucune connaissance particulière sur "les exponentielles" à avoir ici !

enfin si, il y a à savoir que ce qu'on a appris au collège sur les exposants entiers et bien c'est les mêmes règles avec un exposant x réel dans l'expression e^x ...

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 05-10-16 à 11:05

Donc pour la question 1) :
f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}
Or e^{-x}=\frac{1}{e^x}

Donc f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}
f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{\frac{1}{e^x}}{\frac{e^x+1}{e^x}}
f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{1}{e^x}*\frac{e^x}{1+e^x}
f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^x}
f(x)+f(-x)=\frac{e^x+1}{1+e^x}
f(x)+f(-x)=1


Pour la question 2)
Grâce au plan donné, il semble que les segments \left[M_{a}N_{a} \right] aient un même milieu :
Milieu de \left[M_{a}N_{a} \right] : x=\frac{a+(-a)}{2}=0
                                          y=\frac{f(a)+f(-a)}{2}=\frac{1}{2}
Donc tous les segments ont un point commun qui est \left(0;\frac{1}{2} \right).

Posté par
mathafou Moderateurre : Fonction exponentielle dans un repère 05-10-16 à 11:33




on peut accélérer le calcul sur les fractions en écrivant directement que :

\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{e^{-x}{\red \times e^x}}{(1+e^{-x}){\red \times e^x}}

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 05-10-16 à 11:51

Sinon, c'est bon ce que j'ai fais pour les deux questions ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Fonction exponentielle dans un repère 05-10-16 à 12:01

bein oui, c'est bien ce que je voulais dire avec mon

tu peux au besoin mettre les points sur les "i" en écrivant explicitement que les nombres obtenus 0 et 1/2 ne dépendent pas de la valeur de a (donc quel que soit a, le segment passera par ce point fixe là)

Posté par
oreo27re : Fonction exponentielle dans un repère 05-10-16 à 12:09

D'accord merci beaucoup pour votre aide ! C'était tout simple, je ne savais pas comment démarrer
Mercii !!


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