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fonction exponentielle : dm
G eu ce devoir le 10/11/2003 est on a essaye ac mon camarade de le
faire mais c trop dur.Personne dans ma classe la fait et il est a
rendre pour mercredi, alors please help!
"ab" signifiera vecteur ab
Le plan est rapporte au repere orthonormé (O,"i","j").
Soit f 1 fontion derivable sur |R. On note C la courbe de la fonction
f, a 1 nbre reel, A le point de C d'abscisse a, Ta la tangente
à C en A, H le projete orthogonal de A sur (Ox) et (s'il existe
) B le point ou Ta coupe (Ox).
1. Determiner une condition necessaire est suffisante d'existence
de B et calculer ses coordonnees.
2. On suppose que f=exp ; demontrer que B existe et que "BH"="i".
Faire une figure sur papier millimétré ac 2 cm d'unite graphique (bien
sur vous etes pas obligé de la faire; vous, 1!!)
3. Reciproquement, on suppose que B existe et que "BH"="i" ; que
peut-on dire de f?
Voila, j'espere que contrairement a moi vous y ariveré. Si je trouve
une reponse je la posterai .
Merci
1)
B existe si la tangente Ta n'est pas parallèle à l'axe des
abscisses. Donc si la dérivée de f(x) pour x = a n'est pas nulle.
Ta a pour équation: (y - f(a)) = (x - a).f '(a)
Ta coupe Ox pour y = 0 -> -f(a) = (x - a).f '(a)
x = a - (f(a)) / (f '(a))
-> B ( a - [f(a)) / (f '(a)] ; 0)
-----
2)
Si f(x) = e^x
f '(x) = e^x
B(a - 1 ; 0)
et B existe pour toute valeur de a.
Avec H(a ; 0)
vecteur(BH) = [a - (a - 1)]i + (0 - 0) j
vecteur(BH) = vecteur i
-----
3)
B ( a - [f(a)) / (f '(a)] ; 0)
H (a ; 0)
vecteur(BH) = [f(a)) / (f '(a)] i
Si vecteur(BH) = vecteur(i) -> f(a)) / (f '(a) = 1
f(a) = f '(a) pour tout a de R ->
f(x) = f '(x) pour x dans R.
Et en résolvant cette équation différentielle, on a : f(x) = K.e^x avec
K une constante réelle quelconque.
Et donc f(x) est une exponentielle.
------
Sauf distraction.
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