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Fonction exponentielle et factorielle
Bonjour !
Je suis en Terminale S et j'ai un exercice à faire sur les exponentielles et les factorielles mais je bloque dès la première question... :
Soit n un entier naturel, n>=1. On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par :
n! = 1x2x3x4x...xn
Soit n un entier naturel, n>=2. et les fonctions h et j définies sur [0;1] par :
h(x)=exp(-x)* [1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!) ] et j(x)= h(x) + exp(-x) * (x^n/n!)
a) déterminer les variations de h et j et en déduire que f(1) <1 et g(1)>1
b)En déduire l'encadrement de e :
1+(1/1!) + (1/2!) + ... + (1/n!) < e < 1+(1/1!) + (1/2!) + ... + (1/n!) + (1/n!)
a) j'imagine qu'il faut dériver les 2 fonctions :
h est de la forme u * v avec u=exp(-x) et v = 1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!)
Je dois donc appliquer la formule : h' = uv' + u'v
Cependant je n'arrive pas à dériver 1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!)
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cet exercice svp ?
Cependant je n'arrive pas à dériver 1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!)
Rappel : la dérivée de xk c'est kxk-1 donc la dérivée d'un terme de la somme comme x^k/k! c'est simplement kx^(k-1)/k! = x^(k-1)/(k-1)!
Salut,
Tu sais certainement que k! = k(k-1)(k-2)...*2*1 ; que (xn)' = nxn-1 et que (u/a)' = u'/a (pour a réel non nul).
Avec ça, tu devrais t'en sortir...
Donc si j'ai bien compris :
h'(x) = -x* exp(-x) * 1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!) + exp(-x) * (1 + 2x/2! + ... + (nx^n-1)/n!)
Ensuite je factorise par exp(-x) :
h'(x)= exp(-x) * [ -x(1+ (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!) + (1+2x/2! +...+(nx^n-1)/n!)]
h''x)=exp(-x) * [(-x -x²/1! - x^3/2!-...-x^n+1/n)+ (1+2x/2! +...+(nx^n-1)/n!)]
Je sais que exp(-x) est toujours positif mais je fais comment pour trouver le signe de ce qu'il y a dans la parenthèse ?
Comment ça ?
h'(x)=exp(-x) * [(-x -x²/1! - x^3/2!-...-x^n+1/n)+ (1+x +...+(x^n-1)/n-1!)] ??
je ne comprend toujours pas comment trouver le signe de h'(x)
Oui, mais je viens de voir une erreur précédente :
h'(x) = -x* exp(-x) * (1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!)) + exp(-x) * (1 + 2x/2! + ... + (nx^n-1)/n!) NON !
ah oui en effet :
h'(x) = - exp(-x) * (1 + (x/1!) + (x²/2!) + ... + (x^n/n!)) + exp(-x) * (1 + 2x/2! + ... + (nx^n-1)/n!)
Donc h'(x) = exp(-x) * (-1- x/1! -x²/2! -... -x^n-1/(n-1)! -x^n/n! +1 +x+ x/2! +... +x^n-1/(n-1)!
J'ai l'impression qu'il y a encore une erreur...
Ah c'est bon je pense avoir trouvé ! :
h'(x) = exp(-x) * (-1- x/1! -x²/2! -... -x^n-1/(n-1)! -x^n/n! +1 +x+ x²/2! +... +x^n-1/(n-1)!
h'(x) = exp(-x) * (-x^n/n!)
Ensuite pour j'(x) je trouve :
j'(x) = h'(x) + exp(-x) * x^n/n!
j'(x) = -exp(-x)*(x^n/n!) - exp(-x) * x^n/n! + exp(-x) * nx^n-1/n!
j'(x) = exp(-x) (-x^n/n! - x^n/n! + x^n-1/(n-1)!
encore une fois je me trouve bloqué ... comment simplifier ce qu'il y a dans la parenthèse ?
Merci de ta réponse 
Je devrais plutôt mettre x^n-1/(n-1)! en facteur non ?
Ainsi j'obtiens : j'(x) = exp(-x) ( x^n-1/(n-1)! ) ((-2x/n)+1)
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