bonsoir, je souhaiterais avoir un peu d'aide, je n'arrive
pas.

1) On pose pour x>0, u(x)=x*Ln(x)-x.Etudiez lesvariation de u et ses
limites en +oo et en 0.

2) On note g la fonction définie sur [0;+oo[ par:
g(x)=e^u(x) si x>0 et g(0)=1.

  a) vérifiez que pour tout réel x>0,
(g(x)-1)/x=(e^u(x)-1)/u(x))*(Ln(x)-1)

b) Démontrez que la fonction g est continue en 0 mais qu'elle
n'estpas dérivable en0.

c)Etudiez les variations de g et sa limite en +oo.

d)Calculez g(e),puis résolvez l'inequation g(x) >=1 dans ]0;+oo[.


MERCI

** message déplacé **

Bonsoir, je souhaiterais avoir un peu d'aide, je n'arrive

pas à faire cette dernière partie.  

1) On pose pour x>0, u(x)=x*Ln(x)-x.Etudiez lesvariation de u et ses

limites en +oo et en 0.  

2) On note g la fonction définie sur [0;+oo[ par:  
g(x)=e^u(x) si x>0 et g(0)=1.  

  a) vérifiez que pour tout réel x>0,  
(g(x)-1)/x=(e^u(x)-1)/u(x))*(Ln(x)-1)  

b) Démontrez que la fonction g est continue en 0 mais qu'elle

n'estpas dérivable en0.  

c)Etudiez les variations de g et sa limite en +oo.  

d)Calculez g(e),puis résolvez l'inequation g(x) >=1 dans ]0;+oo[.


MERCI

bonsoir, je souhaiterais avoir un peu d'aide, je n'arrive

pas.  

1) On pose pour x>0, u(x)=x*Ln(x)-x.Etudiez lesvariation de u et ses

limites en +oo et en 0.  

2) On note g la fonction définie sur [0;+oo[ par:  
g(x)=e^u(x) si x>0 et g(0)=1.  

  a) vérifiez que pour tout réel x>0,  
(g(x)-1)/x=(e^u(x)-1)/u(x))*(Ln(x)-1)  

b) Démontrez que la fonction g est continue en 0 mais qu'elle

n'estpas dérivable en0.  

c)Etudiez les variations de g et sa limite en +oo.  

d)Calculez g(e),puis résolvez l'inequation g(x) >=1 dans ]0;+oo[.


** message déplacé **

Une seconde ! ca vient...
Océane rédige une aide... Faut être un peu patient , arrête de poster
toutes les 10 minutes

Merci

Bonsoir Marc

Une petite aide pour le début :
- Limite en + :
x lnx - x = x(ln x - 1)
x +
ln x - 1 +

Donc :
u(x) +


- Limite en 0+ :
x ln x 0
-x 0

Donc :
u(x) 0


- Dérivée de u :
u'(x) = ln x + x × 1/x - 1
= ln x

Or,
ln x > 0 si x ]1; +[
ln x = 0 si x = 1
ln x < ]0; 1[

Donc :
u est décroissante sur ]0; 1]
et
croissante sur [1; +[

Voilà déjà pour le début

- Question 2. - a) -
Pour tout réel x > 0, on a :
(g(x) - 1)/x
= (e^u(x)-1)/u(x) × u(x)/x
= (e^u(x)-1)/u(x) × (x ln x - x)/x
= (e^u(x)-1)/u(x) × (ln x - 1)


- Question 2 - b) -
en 0 :
lim g(x) = lim e^u(x) = 1
car u(x) 0

et comme g(0) = 1, alors g est continue en 0.


Toujours en 0 :
lim (g(x) - g(0))/(x-0)
= lim (g(x) - 1)/x
= lim (e^u(x)-1)/u(x) × (ln x - 1)

(e^u(x)-1)/u(x) 1
et
ln x - 1 -

Donc :
lim (g(x) - g(0))/(x-0) = -

g n'est donc pas dérivable en 0.



- Question 2 - c) -
g'(x) = u'(x) e^u(x)
= ln x . e^u(x)

g'(x) est donc du signe de ln x.
Je te laisse finir.


- Question 2. d) -
g(e) = e^u(e)
= e⁰
= 1

g(x) 1
équivaut à :
g(x) g(e)

Comme g est décroissante et continue sur ]0; 1], et que g(0) = 1, alors
pour tout x dans ]0; 1], g(x) < 1

g est croissante et continue sur [1; +[
et g(e) = 1,
donc g(x) 1 sur [e; +[

S = [e; +[


A toi de tout reprendre, bon courage ...